如图,E是△ABC的内心,线段AE的延长线交△ABC的外接圆与当D

E是BC弧中点,连结CE,BE=IE=CE,《BCE=〈BAE（同弧圆周角相等）,〈BAE=〈EAC,〈EAC=〈DCE,〈DEC=〈AEC（公用）,△CDE∽△ACE,CE/AE=DE/CE,CE^

②∵∠BAD=∠EBD,∠D=∠D∴△BAD∽△EBD∴AD/BD=BD/ED∴x/2=2/y∴y=4/x∵BD≤AD≤2R∴2≤x≤6即y=4/x（2≤x≤6）③∵AE=3,即x-y=3联立y=4/

因为角BDI=角ABI+角BAI(外角)且在弧CD上,角DBC=角DAC(圆周角)得角DBI=角DBC+角IBC=角DAC+角IBC(等量代换)又I为内心,得AI、BI为角平分线,即角BAD=角CAD

（1）证明：∵∠BID=∠IBA+∠BAI(外角等于不相邻二内角和）∵I是内心,即是角平分线的交点,∴BI平分∠B,AI平分∠A,∴∠BID=(∠A+∠B)/2∵∠IBD=∠IBE+∠EBD,∠EBD

①BE=IE   证明：连接BI．∵I为△ABC内心，∴∠1=∠2，∠3=∠5，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，∵∠BIE=∠2+∠5，∠EBI=∠1+∠4，∴∠BIE=∠E

EB=EC是显而易见的,等角对等边.因为I为内心BAI=CAIABI=CBIBIE=BAI+ABI=CAI+CBI=ABC故三角形BIE为等腰三角形EI=EBEB=EC=EI

∠BDE=1/2*(180度-1/2*(∠A+∠B))（1）∠BFE=180度-1/2*(180度-∠BDE)（2）联立(1)(2)可得∠BFE=135度-1/8*(∠A+∠B)∵∠A+∠B135度-

证明：（1）∵AC=BC∴∠CAB=∠CBA，又∵E是内心，∴∠1=∠2=∠3=∠4．∴BE=AE；（2）∵∠BED=∠1+∠3，∠EDB=∠2+∠5，又∵∠5=∠4，∴∠BED=∠EDB，∴BD=D

（1）由E是△ABC内心,∴AE,BE,CE是三内角平分线交点.∴∠BAD=∠CAD,∴BD=CD（同圆或等圆中,圆周角相等,所夹弦相等）.（2）∵∠BAD=∠CAD=∠CBD由∠BED=1/2∠BA

连接BE，∵E为内心，∴AE，BE分别为∠BAC，∠ABC的角平分线，∴∠BED=∠BAE+∠EBA，∠EBA=∠EBC，∠BAE=∠EAC，∴∠BED=∠EBC+∠EAC，∠EBD=∠EBC+∠CB

（1）△DEF是等边三角形．证明如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA，又∵AD=BE=CF，∴DB=EC=FA，（2分）∴△ADF≌△BED≌△CFE，（3分）∴DF=D

（1）由E是△ABC内心,∴AE,BE,CE是三内角平分线交点.∴∠BAD=∠CAD,∴BD=CD（同圆或等圆中,圆周角相等,所夹弦相等）.（2）∵∠BAD=∠CAD=∠CBD由∠BED=1/2∠BA

（1）证明：连接IB．∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBD．又∵∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠IBD+∠DBE=∠IBE，∴BE=IE．（2）在△BE

是内心

连接AI∵∠EBC=∠EAC,∠ECB=∠EAB又∵∠EAB=∠EAC∴∠EBC=∠ECB,∠EBC=∠EAB∴BE=EC∵∠BIE=∠BAE+∠ABI∠EBI=∠EBC+∠CBI∠EBC=∠EAB,

选CI是△ABC的内心,AE平分∠BAC,BI平分∠ABC∠1=∠2  ∠3=∠4弧EC=弧EC∠5=∠2  ∠1=∠5∠EBI=∠5+∠4=∠3+∠1=∠BI

证明：连接CICE因为I是三角形ABC的内心所以AE平分角BACCI平分角ACB所以角BAE=角CAE角ACI=角BCI因为角BAE=角BCE=弧BE/2因为角CIE=角ACI+角CAE因为角ECI=

证明：连接BI.∵内心∴∠BAE=∠CAE∠ABI=∠DBI∴圆中弦BE=CE,∠CBE=∠CAE=BAE∵∠EBI=∠CBE+∠DBI∠EID=∠ABI+∠BAE∴∠EBI=∠EIB∴BE=IE∴C

做出来啦!内角平分线定理：AI/ID=AB/BD又∠EBC=∠EAC=∠EAB,故△ABE相似△BDEAB/BD=AE/BE∠EBI=∠IBC+∠CBE=∠ABC/2+∠BAC/2=∠BIE故BE=I

证明：∵三角形的内心是角平分线的交点∴∠BAD=∠CAD∴BD=CD（等角对等弦）∵∠CED=∠ACE+∠CAD∠DCE=∠BCE+∠BCD∠ACE=∠BCE∠CAD=∠BAD=∠BCD（等弧对等角）