如图,P是矩形ABCD内的一点,AP垂直于BP

过P作MN⊥AD于M,交BC于N,∵ABCD是矩形,∴四边形ABNM与MNCD都是矩形,∴PA^2=PM^2+AM^2,PC^2=PN^2+CN^2,∴PA^2+PC^2=PM^2+PN^2+AM^2

过P做EF//AD,交AB于点E,交CD于点F过P做GH//AB,交AD于点G,交BC于点H因为矩形ABCD所以角AEP=角PFD=90度,GP=AE=DF,PH=BE=FC由勾股定理得：PA^2=P

连结AC,BD相交于点O.再连结PO.因为PD垂直PB,故PO=OD=OB.又因为OC=OA=OB;则PO=OC=OA;所以PA垂直PC.

因为PA=PB所以∠PAB＝∠PBA因为在矩形ABCD中所以∠DAB=∠CBA所以∠DAB-∠PAB=∠CBA-∠PBA所以∠DAP=∠CBP在△DAP与△CBP中DA＝CB∠DAP=∠CBPPA=P

GHABCD是矩形,所以PE=BF,PF=BE,PG=CF,DF=AEAP^2=AE^2+BF^2.①BP^2=BE^2+BF^2.②CP^2=BE^2+CF^2.③DP^2=AE^2+CF^2.④①

证明：过点P作EF⊥AD交AD于点E，BC于点F；过点P作GH⊥AB交AB于点G，CD于点H．则EA=BF，CH=PF，HP=DE．∴PA2+PC2=EA2+EP2+CH2+HP2=BF2+EP2+P

S1+S3=1/2S矩形=7.5.S1、S3的底,AD=BC,高之和为AB

过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F，过P作BC的平行线分别交AB、CD于G、H．设AG=DH=a，BG=CH=b，AE=BF=c，DE=CF=d，则AP2=a2+c2，CP2=b2+d2，BP

解1）（1）∵AD∥BCPE⊥AD∴PF⊥BC∴S⊿APD+S⊿BPC=1/2AD*PE+1/2BC*PF∵AD=BC,S矩形=AD*EF∴S⊿APD+S⊿BPC=1/2AD(PE+PF)=1/2AD

因为PA=PB所以∠PAB＝∠PBA因为在矩形ABCD中所以∠DAB=∠CBA所以∠DAB-∠PAB=∠CBA-∠PBA所以∠DAP=∠CBP在△DAP与△CBP中DA＝CB∠DAP=∠CBPPA=P

过P做四边边的垂线,分别交AB、BC、CD、DA于EFGH∵ABCD是矩形∴PE=BF,PF=BE,PG=CF,DF=AE∴有：AP²=AE²+BF².①BP²

/>∵ABCD是矩形∴PA²+PC²=PB²+PD²∵PA=4,PB=1,PC=5∴4²+5²=1²+PD²∴PD

②,④是对的,如要解析是可以,只要你需要再问：求解析，谢谢再答：①，如图，你懂得②如图S2=a(b+d)/2,S4=c(a+b)/2S3=b(a+c)/2,S1=d(a+c)/2于是S2+S4=a(b

你的图呢?算了,没图也可以.相等.可以过点P做AB的垂线,即可说明这条垂线是AB的垂直平分线.该线肯定垂直CD,易证此线也是CD的垂直平分线,所以PC=PD.

过P做两边的垂线,交AB、BC、CD、DA于EFGHABCD是矩形,所以PE=BF,PF=BE,PG=CF,DF=AEAP^2=AE^2+BF^2.①BP^2=BE^2+BF^2.②CP^2=BE^2

∵O是矩形ABCD内的点∴S△OAB+S△OCD=S△OAD+S△OBC=0.5S□ABCD（等于矩形ABCD面积的一半）∵S△OAB=0.15S□ABCD∴S△OCD=0.5S□ABCD-S△OAB

由PA=PD先推出角PAB=角PDC.再根据边角边推出两个三角形全等,推出PB=PC

解题思路：根据三角形面积求法以及矩形性质得出S1+S3=12矩形ABCD面积，以及PFPE=ABAD，PFCD=PEBC，即可得出P点一定在AC上．解题过程：最终答案：②④

∵ABCD是矩形∴∠ABC=∠DCB=90°AB=CD∵PB=PC∴∠PBC=∠PCB∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB即∠ABP=∠DCP∵AB=CD,PB=PC∴△ABP≌△DCP(SAS)