已知P是圆O半径上一点,OP=5,经过点P的最短的弦长我

（1）当OP垂直直线L时,O到直线距离就是3,此时距离等于半径,直线和圆相切当OP不垂直L时,O到直线距离小于3,此时距离小于半径,直线和圆相交（2）根据垂径定理,从O分别做AB、AC垂线.得到直角三

作OC⊥AB，则AC=4，∵OA=5，∴OC=3，∴OP的取值范围是3≤OP≤5．

如图，作OM⊥AB与M，∵AB=8，∴BM=12AB=12×8=4，∵PB=3，∴PM=1，P′M=7，在直角△OBM中，OM=OB2−BM2=3；在Rt△OPM中，OP=OM2+PM2=10．在Rt

首先,由题可知：AB=8,作OH垂直于AB交AB于H,连接AO,BO自然H也为AB中点,AH=4,PH=1由勾股定律：OH=OP和PH平方差的二次方OH=根号3同样由勾股定理半径R=AO=OH和AH的

过O作OE⊥AB,垂足为E,连接OA,∵AB=10,PA=4,∴AE=1/2AB=5,PE=AE-PA=5-4=1,在Rt△POE中,OE=√(OP²-PE²)=√(5²

设ac切圆d于点g,bc切圆d于点f,连接df,fg,ad,bd,cd则有s=s△agd+s△aed+s△cdf+s△sgd+s□bedf因为s/de²=4根号3所以4根号3*de²

∵Q是AP中垂线上的点∴QA=QP这样QO+QA=OQ+QP=r∴Q的轨迹是椭圆（到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆）如下图（点击可放大）

过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA，∵AB=10，PA=4，∴AE=12AB=5，PE=AE-PA=5-4=1，在Rt△POE中，OE=OP2−PE2=52−12=26，在Rt△AOE中，OA=AE

解题思路：过O作OD⊥AB，D为垂足，连接OB，由垂径定理可得BD，DP的长，在Rt△ODP中，由勾股定理可求出OD的平方，在Rt△OBD中，由勾股定理即可求出OB的长。解题过程：

连接OB，作OM⊥AB与M，则BM=4，PM=2，在直角△OBM中，根据勾股定理得到：OM=3；在直角△OPM中根据勾股定理得到：OP=OM2+PM2=13．

不是还有一种情况么?p在圆内.

(1)①OP=根号（5²-4²）=3②OQ=根号（5²-3²）=4因为两条弦平行所以O、P、Q三点共线(2)同理,OQ=4,所以PQ=1或PQ=7(3)相等,发

1）因为B是OP的中点,所以BP=OB因为BC⊥OP所以BC是OP的垂直平分线所以PC=CO所以∠DPO=∠COP因为弧AC=弧CD所以∠DOC=∠COP所以∠DPO=∠DOC2）设CD=x,则DP=

过点P的最长的弦是直径,长是26,最短的弦是与这条直径垂直的弦,长是24.则过点P的弦,其长度是整数的话,其长度可以是：26【一条】、25【两条】、24【一条】,共有4条.再问：为什么最短弦是与直径垂

当然是直径啦,6cm

题中应是PF=4cm.作oH⊥EF,则EH=(4+5)/2=4.5cm,PH=5-4.5=0.5cm,r^2=EH^2+OH^2=EH^2+(OP^2-PH^2)=4.5^2+4^2-0.5^2=36

[[[1]]]先画一个比较标准的图.连接OC和OE.[[[[[[2]]]]显然可以得到两个结论:[[[其一]]],Rt⊿CBP≌Rt⊿CBO.∴∠CPB=∠COB=x(不妨设其大小为x)∴∠DCO=2

将OP向两方延长，设OC=xcm，则CP=（x+5）cm，PD=（x-5）cm，根据相交弦定理，AP•BP=CP•DP，即（10-4）×4=（x+5）（x-5），解得x2=49，x=7或x=-7（负值

4×6=（r-5）（r+5）,解得r=7cm.再问：可否写出过程?再答：设圆的半径为r，延长直径OP，根据相交弦定理得4×6=（r-5）（r+5），解得r=7cm.

jingjunlong789：过P点最长的弦是直径,长度为20最短的弦是垂直于OP的弦,长度为2√（10²-6²）＝2√64＝2×8＝16所以长度为整数的弦有16、17、18、19