矩阵A求证n均有A^n=2^n-1A

就是构造2n阶的矩阵D（这里用分块矩阵表示）D=|A0||CB|这是一个上三角矩阵,易得|D|=|A||B|(A、B是原来的n阶阵,O代表全零的n阶矩阵,C代表对角线上元素全部是-1,其他元素全部是0

R（A）和R（B）的秩都小于等于n,而AB是m*m的方阵,m>n,所以AB不是满秩阵,所以|AB|=0

因为AB=0,所以B的每一列向量都是AX=0的解（1）若秩(A)=n（即列满秩）,则AX=0只有零解,所以秩(B)=0,满足条件；（2）若秩(A)

kA是矩阵的数乘,A中所有元素都乘k由行列式的性质:某行的公因子可提出来|kA|的每一行都有一个k公因子,故每行都可提出一个k,共提出n个k所以有|kA|=k^n|A|

因为A、B均为n阶可逆矩阵所以(A*)*=(|A|A^(-1))*=|A|^n-2(A^(-1))*=|A|^n-1(A*)^(-1)=|A|^n-1(|A|A^(-1))^(-1)=|A|^n-1A

(A^2)^T=(A^T)^2=(-A)^2=A^2故A^2是对称的.

如果存在另外的正定矩阵C,满足A=C^2,下面证明B=C.B和C都是正定矩阵,所以都可以完美对角化,都有对应特征值和特征向量.因为B^2=A,所以B特征值的平方对应A的特征值,相应的特征向量对应A的相

小问题1似乎是特征分解.[V,D]=eig(K);这样就可以得矩阵V和对角阵D,满足K*V=V*D再问：恩。。这样特征值对角阵的确可以求出来，变化向量P怎么求了呢再答：P不就是V么。。。。V是单位正交

（1）r(A)=nAX=0X只有零解所以B就是零解组成的矩阵,即零矩阵（2）AB=AA(B-E)=0由（1）知道（B-I）=0B=I

对于n阶矩阵A而言,一个数λ乘A是λ乘A中的每个元素.从行列式而言,可以从一行（或一列）提取公因子到行列式外面计算,这样从每一行都提出公因子λ后,一共提出了n个λ相乘.

用用换行的性质吧再问：怎么换再答：交换两行位置行列式变号，但因为两行相同，交换位置后行列式没有变化，值应该不变，所以detA=-detA,，所以detA=0

设n元非齐次线性方程组AX=B有解,其中A为(n+1)×n矩阵,则|(A|B)|=0再问：怎么算的，为什么？再答：AX=B有解，所以A的秩等于(A|B)的秩，所以(A|B)不是满秩的。

证明:因为A,B可逆,故A^-1,B^-1存在,AB可逆,且有A*=|A|A^-1,B*=|B|B^-1.故(AB)*=|AB|(AB)^-1=|A||B|B^-1A^-1=(|B|B^-1)(|A|

这个比较麻烦,要借助向量空间的维数定理证明:记w1,w2,w3,w4分别为A,B,A+B,AB的行向量组生成的向量空间易知w3包含在w1+w2中.由维数定理dimw3

（1）A(n+1,n+1)=(n+1)!=(n+1)*n*...*2*1所以题目左边=(n+1)!-(n)!=(n+1-1)*(n)!=(n*n)*(n-1)!=右边,得证（2）把右边的每个数都写成C

A、B相似,说明存在可逆的P,A=PBP逆B正交,说明B'=B逆,B'表示转置所以|A|²=|A²|=|AA|=|PB(P逆P)BP逆|=|P||P逆||B||B|=|P|*1/|

因为R(A)=n-2,所以R（A*）=0所以R（2A+3A*）

证明：以下A'表示A的转置,(-1)^n表示-1的n次方.因为A是反对称矩阵,所以A'=-A.两边取行列式得|A'|=|-A|.由于A的行列式和A的转置的行列式相同,所以|A'|=|A|.另一方面,|

因为A+E不可逆所以|A+E|=0所以-1是A的一个特征值所以|A|/(-1)=-2是A*的一个特征值

利用A-E与B-E的可逆性如图证明.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.