设A为n阶矩阵,b为n维列向量,证明Ax=b有唯一解的充分必要条件是A满秩

设A=(a1,a2,.an)^T,B=(b1,b2,.bn)^T则AB^T=a1b1a1b2a1b3.a1bna2b1a2b2a2b3.a2bn..anb1anb2anb3.anbn注意任何一个2*2

直接验证.a是单位列向量,所以aTa=1AT=ET-2(aaT)T=E-2aaT所以是对称阵.ATA＝（E-2aaT）（E-2aaT）＝E－2aaT-2aaT＋4aaTaaT=E这说明A是正交阵.

反证法就行了不妨设j,k列相关Bj=cBk则Ejj=cEjkEjj=1=>Ejk=1/c不等于0矛盾所以不存在j,k使线性相关

证：因为A为正交矩阵,所以A^TA=E(单位矩阵)从而||Aa||=√(Aa)^T(Aa)=√a^TA^TAa=√a^Ta=||a||再问：||a||?==√a^Ta这是为什么再答：不谢，那是公式。

因为A为正交矩阵所以A^TA=E.所以[Aa1,Aa2]=(Aa1)^T(Aa2)=a1^TA^TAa2=a1^Ta2=[a1,a2]

1、=(Aa1)^T*(Aa2)=(a1)^T*A^T*A*a2=(a1)^T*(a2)=.2、取a2＝a1,由1有||Aa1||^2=||a1||^2.开方得结论.

先用线性无关的定义验证a1,a2,...,an线性无关然后记X=[a1,a2,...,an],那么X是非奇异矩阵且满足X^{-1}AX=J,其中J=0000010000010000010000010是

因为n=r(In)=r(AB)

R(A^T)=sA^Tx=0的基础解系含n-s个向量,令其构成矩阵B则B为列向量线性无关的n行n-s列矩阵且有A^TB=0,即有B^TA=0由于B的列与A^T的行正交(齐次线性方程组的解与系数矩阵的行

你这个问题有一个证明方法就是证明A至少存在一个非零的特征值.假设A不存在一个非零的特征值,所有的特征值都是0,则A=0,矛盾,因此A至少存在一个非零的特征值,假设其对应的特征向量为X,那么XTAX就不

分三步:1.因为a为n维单位列向量,所以有a'a=1(记a'=aT)2.A'A=(E-2aa')(E-2aa')=E-4aa'+4aa'aa'=E-4aa'+4aa'=E3.||AB||=√(AB)'

证明:因为A=E-2αα^T/(α^Tα)所以A^T=E^T-2(αα^T)^T/(α^Tα)=E-2αα^T/(α^Tα)所以AA^T=[E-2αα^T/(α^Tα)][E-2αα^T/(α^Tα)

AB^T的特征值为B^TA,0,0,...,0且由CA=AB^TA=(B^TA)A知A是C的属于特征值B^TA的特征向量.因为Q是正交矩阵所以B^Tqi=0所以Cqi=AB^Tqi=0所以q1,...

因为对任何n维列向量b,方程组Ax=b都有解.此时n维列向量b分两种情况:1)b=0,则AX=0.这是齐次线性方程组,R(A)=n,系数行列式IAI不等于0,即必有零解.2)b不=0,则AX=b.这是

设k1Aα1+k2Aα2+…+knAαn=0则A(k1α1+k2α2+…+knαn)=0因为A可逆,等式两边左乘A^-1,得k1α1+k2α2+…+knαn=0由已知α1,α2,…αn线性无关所以k1

"对任何的m维列向量b,AX=b有解"这说明r(A)=m(A^TA)=r(A)=m但A^TA是n阶方阵,n可能大于m.所以A^TA不一定可逆.

证明:首先有r(B)>=r(AB)=r(I)=m而B只有m列,所以r(B)

证明：Ax=b有唯一解,那么r(A,b)=r(A)=n,而A为n阶矩阵,所以r(A)=n可以得到A可逆同理,n阶矩阵A可逆,那么r(A)=n,而增广矩阵r(A,b)显然此时等于r(A),所以r(A,b

考虑方程ABx=0,由于A的列向量线性无关,所以只可能是Bx＝0.这说明ABx＝0的解空间与Bx=0的解空间相同,其中ABx=0解空间的维度为s-r(AB),Bx＝0解空间的维度是s－r(B).两个方

1.A是实矩阵时正确x满足A^TAx=0,则x^TA^TAx=0,即有(Ax)^T(Ax)=0,故有Ax=02.不对.不管A是否可逆,Ax=0时,(等式两边左乘A^T)都有A^TAx=0.