设是n维单位列向量,E为n阶单位矩阵,则

用正交阵定义验证.经济数学团队帮你解答.请及时评价.

直接验证.a是单位列向量,所以aTa=1AT=ET-2(aaT)T=E-2aaT所以是对称阵.ATA＝（E-2aaT）（E-2aaT）＝E－2aaT-2aaT＋4aaTaaT=E这说明A是正交阵.

设e1=b/|b|,可以有单位正交基：e1,e2,.,en.在这组基下,向量b的坐标为(b1,0,...,0)',向量a的坐标为(a1,.,an)',其中a1*b1=a‘b>0.H所对应的线性变换在基

n维单位行向量(a1,a2,a3,.an),其中a1＾2+a2＾2+.an＾2=1,它的转置就是n维单位列向量

由于u为单位向量,所以u^t*u=1H(T)H=(E-2uu^t)T*(E-2uu^t)=(E-2uu^t)*(E-2uu^t)=E-4uu^t+4uu^t*uu^t=E-4uu^t+4uu^t=E不

证：因为A为正交矩阵,所以A^TA=E(单位矩阵)从而||Aa||=√(Aa)^T(Aa)=√a^TA^TAa=√a^Ta=||a||再问：||a||?==√a^Ta这是为什么再答：不谢，那是公式。

1+xa≠0,可以知道aa'（a‘表示转置）也不会为0,而r(aa')<=r(a)<=1这说明aa‘的秩为1.这样aa'的特征值正好是n-1个0,有一个不

由已知aa^T的特征值为1,0,0,...,0所以A=E-aa^T的特征值为0,1,1,...,1由于A是实对称矩阵,所以r(A)等于A的非零特征值的个数,即r(A)=n-1.

H^TH=(E-2aa^t)^T(E-2aa^t)=(E-2aa^t)(E-2aa^t)=E-2aa^t-2aa^t+4aa^taa^t=E-4aa^t+4a(a^ta)a^t=E-4aa^t+4aa

R(A)=n-1,首先可以确定,A的基础解系所含的解向量个数是n-（n-1）=1个那么就很简单了,找一个向量,代入AX=0可以使之成立就行了.利用题目的暗示,这个向量可能是a我们试一试代入AX=0(E

因为A为正交矩阵所以A^TA=E.所以[Aa1,Aa2]=(Aa1)^T(Aa2)=a1^TA^TAa2=a1^Ta2=[a1,a2]

分三步:1.因为a为n维单位列向量,所以有a'a=1(记a'=aT)2.A'A=(E-2aa')(E-2aa')=E-4aa'+4aa'aa'=E-4aa'+4aa'=E3.||AB||=√(AB)'

证明:因为A=E-2αα^T/(α^Tα)所以A^T=E^T-2(αα^T)^T/(α^Tα)=E-2αα^T/(α^Tα)所以AA^T=[E-2αα^T/(α^Tα)][E-2αα^T/(α^Tα)

反证法：如果B的列向量线性相关.则R(B)

直接计算HTHT=(E-2xxT)=E-2(xT)TxT=E-2xxT=H所以H是对称阵因为HTH=(E-2xxT)(E-2xxT)=E-4xxT+4xxTxxT根据集合律=E-4xxT+4x(xTx

||Px||=1,具体展开根据范数的定义再问：我只学过这个三个性质，但似乎都无法用来解这个题：⒈║x║≥0，且║x║=0x=0；⒉║cx║=│c│║x║；⒊║x+y║≤║x║+║y║。而且我这个教材上

||Aβ||²＝Aββ'A'＝﹙E-2αα'﹚ββ'﹙E-2αα'﹚＝ββ'-2ββ'αα'-2αα'ββ'+4αα'ββ'αα'注意α‘αβ’βα‘β＝β’α都是“数”﹙1行1列﹚可以和矩

||Px||=()^(0.5)=(Px)'*(Px)=x'P'Px=x'x=1其中表示内积,“'”表示转置

证明：Ax=b有唯一解,那么r(A,b)=r(A)=n,而A为n阶矩阵,所以r(A)=n可以得到A可逆同理,n阶矩阵A可逆,那么r(A)=n,而增广矩阵r(A,b)显然此时等于r(A),所以r(A,b

a^Ta=(E-2aa^t)^T(E-2aa^t)=(E-2aa^t)(E-2aa^t)=E-2aa^t-2aa^t+4aa^taa^t=E-4aa^t+4a(a^ta)a^t=E-4aa^t+4aa