证明:若A可逆,则|det(A)|等于A的奇异值之积

A是可逆矩阵,由矩阵的逆定义有A^(-1)*A=E即|A^(-1)*A|=|E|=1由行列式乘法公式|A^(-1)*A|=|A^(-1)|*|A|=1|A^(-1)|=1/|A|

A的为1阶方阵时A不可逆A=0,所以A*=0,所以不可逆A的阶数n大于等于2时(A*)*=|A|^(n-2)A(证明见参考资料例6)因为A不可逆所以|A|=0所以(A*)*=O所以A*(A*)*=|A

若A可逆,设A的逆矩阵为A^(-1)则根据逆矩阵定义有：AA^(-1)=A^(-1)A=E∵|AB|=|A||B|∴|A||A^(-1)|=|A^(-1)||A|=|E|=1从而|A^(-1)|=1/

因为det(A)＜0,所以正交矩阵的特征值是正负1,所以A+E的特征值是0和2,所以A+E的行列式=0你要知道的就是正交矩阵的特征值只可能是1或-1,若正交阵A地特征值是λ,则A的转置的特征值也为λ,

由B只有有限个特征值,存在B的特征值λ,使得λ-1不是B的特征值.设X是B的属于特征值λ的特征向量,即有X≠0并满足BX=λX.由AB-BA=A,有BA=AB-A.于是BAX=ABX-AX=A(λX)

det(A)=o说明R(A)

det（A的－1BA）=det(A的-1)*det(B)*det(A)=det(B)

因为|A|=0所以0是A的特征值所以A的全部特征值为1,3,0所以A+2E的特征值为(λ+2):3,5,2故|A+2E|=3*5*2=30≠0所以A+2E可逆

知识点:R(AB)

因为R是可逆矩阵A的一个特征值所以Ax=Rx两边左乘A*A*Ax=A*Rx即det(A)x=A*Rx那么A*x=det(A)/Rx所以det(A)/R是A的伴随矩阵A*的一个特征值

设x是A的属于特征值m的特征向量则Ax=mx.两边左乘A*得A*Ax=mA*x.由A*A=|A|E得|A|x=mA*x.再由A可逆,A的特征值都不等于0,所以有(|A|/m)x=A*x即|A|/m是A

首先,由A正定,存在正定矩阵C使A=C².这个用可对角化证明:由A为实对称阵,存在正交阵T使T^(-1)AT为对角阵.又A正定,故T^(-1)AT的对角线上均为正数(特征值>0).故存在对角

【反证法】假设A不可逆,则|A|=0所A·A*=|A|·E=0因A*逆,等式两边右乘A*的逆,得A=A·A*·A*的逆=A·A*·A*的逆=0·A*的逆=0即有A=0进而有A*=0（根据伴随矩阵的意义

有个重要关系式：AA*=det(A)E,A*是A的伴随阵.取行列式得det(A)det(A*)=det(A)^ndet(E)=det(A)^n,由于det(A)不等于0,因此有det(A*)=(det

由A*=|A|A^-1得(A*)'=|A|(A^-1)'对A'也有(A')*=|A'|(A')^-1=|A|(A')^-1而(A^-1)'=(A')^-1--这个也是性质,易证所以(A*)'=(A')

证明：A是奇数阶正交矩阵则A*AT=E,(AT为A的转置）而对于：det(E-A)则代入A*AT=Edet(E-A)=det(A*AT-A)=det(A)*det(AT-E)det(AT-E)=det

首先无论怎样A(A*)=(A*)A=|A|I是必然成立的现在A可逆所以|A|不为0所以(A/|A|)(A*)=(A*)(A/|A|)=I由定义知A*可逆且其逆就是A/|A|

A*=|A|A^-1|A*|=||A|A^-1|=|A|^n乘以|A^-1|=|A|^（n-1）因为A可逆,所以A的行列式不等于零所以|A|^（n-1）不等于0所以|A*|不等于0所以伴随矩阵可逆

n阶方阵A可逆,|A|≠0AA*=|A|EA*=|A|A^(-1)|A*|=|A|^(n-1)≠0A*可逆