计算定积分 ∫ x ln(1+e^x) dx （上限2下限-2）

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/20 08:06:14

∫(-2→2)x*ln(1+e^x)dx
=∫(-2→0)x*ln(1+e^x)dx +∫(0→2)x*ln(1+e^x)dx
∫(-2→0)x*ln(1+e^x)dx
设y=-x,x=-y
原式=∫(2→0)(-y)*ln[1+e^(-y)]d(-y)
=∫(2→0)y*ln[1+e^(-y)]dy
=∫(2→0)y*ln[(e^y+1)/e^y]dy
=∫(2→0)y*ln(e^y+1)dy -∫(2→0)y*ln(e^y)dy
=-∫(0→2)y*ln(1+e^y)dy +∫(0→2)y^2dy
即∫(-2→0)x*ln(1+e^x)dx=-∫(0→2)x*ln(1+e^x)dx +∫(0→2)x^2dx
故∫(-2→2)x*ln(1+e^x)dx
=∫(-2→0)x*ln(1+e^x)dx +∫(0→2)x*ln(1+e^x)dx
=-∫(0→2)x*ln(1+e^x)dx +∫(0→2)x^2dx +∫(0→2)x*ln(1+e^x)dx
=∫(0→2)x^2dx
=[x^3/3]|(0→2)
=2^3/3
=8/3
再问： X= -Y是为什么要这样变量代换？计算的步骤到时看懂了，就是如何找出代换公式没看懂
再答：挺简单的，统一积分区间，这样可以合并两个积分，往往可以使被积函数简化通过x=-y这个变换，把原积分区间(-2,0)变成(0,2)，两个积分的积分区间就一样了注意观察对称性，(-2,0)与(0,2)，这两个区间关于原点对称，因此考虑变换x=-y

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