如图,已知圆C的方程为:x2+y2-6x-8y+21=0,平面上有A(1,0)和B(-1,0)两点.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/24 13:37:20
如图,已知圆C的方程为:x2+y2-6x-8y+21=0,平面上有A(1,0)和B(-1,0)两点.
(I)在圆上求一点Q,使△ABQ的面积最大,并求出最大面积;
(II)在圆上求一点P,使|AP|2+|BP|2取得最小值.
(I)在圆上求一点Q,使△ABQ的面积最大,并求出最大面积;
(II)在圆上求一点P,使|AP|2+|BP|2取得最小值.
(I)圆C化为标准方程为:(x-3)2+(y-4)2=4,C坐标是(3,4),|AB|=2
∵S△ABQ=
1
2|AB|×|yQ|,
∴Q的纵坐标最大值时,面积最大
∵C坐标是(3,4),∴Q纵坐标为:4+2=6即Q(3,6)时,面积的最大值是6;
(II)设P(x,y),则|AP|2+|BP|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2(x2+y2)+2=2|OP|2+2
要使|AP|2+|BP|2取得最小值,只要使|OP|2最小即可
∵P为圆上的点,∴点P为OC连线于圆C的交点
直线OC:y=
4
3x,与(x-3)2+(y-4)2=4联立,可得25x2-150x+189=0
∴x=
9
5或x=
21
5>3(舍去)
∴y=
12
5
∴P的坐标为(
9
5,
12
5).
∵S△ABQ=
1
2|AB|×|yQ|,
∴Q的纵坐标最大值时,面积最大
∵C坐标是(3,4),∴Q纵坐标为:4+2=6即Q(3,6)时,面积的最大值是6;
(II)设P(x,y),则|AP|2+|BP|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2(x2+y2)+2=2|OP|2+2
要使|AP|2+|BP|2取得最小值,只要使|OP|2最小即可
∵P为圆上的点,∴点P为OC连线于圆C的交点
直线OC:y=
4
3x,与(x-3)2+(y-4)2=4联立,可得25x2-150x+189=0
∴x=
9
5或x=
21
5>3(舍去)
∴y=
12
5
∴P的坐标为(
9
5,
12
5).
如图平面上有A(1,0),B(-1,0)两点,已知圆的方程为(x-3)^2+(y-4)^2=2^2.
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