求极限 lim n[ e^2- (1+1/n)^2n] n->无穷

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 15:32:52

换元,令x=1/n,则n-->∞时,x-->0
极限化为：lim[x-->0] (e²-(1+x)^(2/x)]/x 0/0型,洛必达法则
我们先来计算一下e²-(1+x)^(2/x)的导数
[e²-(1+x)^(2/x)]'=-[(1+x)^(2/x)]'
=-[e^( (2/x)ln(1+x) )]'
=-[e^( 2ln(1+x) /x)]'
=e^( 2ln(1+x) /x)*(2ln(1+x) /x)'
=e^( 2ln(1+x) /x)*( (2x/(1+x)-2ln(1+x) ) /x²)
=e^( 2ln(1+x) /x)*( (2x-2(1+x)ln(1+x) ) /x²(1+x))
原极限洛必达法则后=lim e^( 2ln(1+x) /x)*( (2x-2(1+x)ln(1+x) ) /x²(1+x) ) / 1
=e²lim(2x-2(1+x)ln(1+x) ) /x²(1+x)
=e²lim1/(1+x)*lim(2x-2(1+x)ln(1+x) ) /x²
洛必达
=e²lim(2-2ln(1+x)-2 ) /(2x)
=e²lim -ln(1+x) /x
=-e²
再问：答案是e²，还是很感谢

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