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在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何

来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/05 14:21:18
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10，设A1C1的中点为O1．
（Ⅰ）求棱AA1的长
（Ⅱ）求证：面A1BC1⊥面BDD1O1
（Ⅲ）求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值．
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何
（Ⅰ）设A1A=h，由题设VABCD−A1C1D1=VABCD−A1B1C1D1 -VB−A1B1C1=10，
得SABCD×h-
1
3×S△A1B1C1×h=10，
即2×2×h-
1
3×
1
2×2×2×h=1解得h=3．
故A1A的长为3．（4分）
（Ⅱ）如图，连接AC、BO1
∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，
∴A1C1∥AC．
∴四边形ABCD是正方形．
∴AC⊥BD；
∵D1D⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥D1D又AC与BD相交
∴AC⊥平面D1DC．   由A1C1∥AC．
∴A1C1⊥平面D1DC．A1C1⊂平面A1BC1．
∴平面A1BC1⊥平面BDD1．            （9分）
（Ⅲ）因为在长方体中A1D1∥BC，
所以∠O1BC即为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角）．（11分）
在△O1BC中，计算可得O1B=O1C=
11，
则∠O1BC的余弦值为

11
11，
故异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值为：

11
11．（14分）
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