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已知集合M={(x,y)lx>0,y>0,x+y=k},其中k为大于0的常数,(1)对任意(x,y),t=xy,求t的取

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/16 02:31:50
已知集合M={(x,y)lx>0,y>0,x+y=k},其中k为大于0的常数,(1)对任意(x,y),t=xy,求t的取值范围
(2)求证:当k>=1时,不等式(1/x-x)(1/y-y)
已知集合M={(x,y)lx>0,y>0,x+y=k},其中k为大于0的常数,(1)对任意(x,y),t=xy,求t的取
(1) t=xy≤[(x+y)/2]^2=k^2/4 所以t∈(0,k^2/4]
(2)用求差法证明.设x-y=p,则4xy=k^2-p^2,
右边- 左边
=(k^2-p^2)/(4k^2)-[(xy+1)^2-k^2]/xy
=(k^2-p^2)/(4k^2)- [(4xy+4)^2-16k^2]/(16 xy)
=(k^2-p^2)/(4k^2)-[(k^2-p^2-4)^2-16k^2]/[4(k^2-p^2)]
= {(k^2-4)^2(k^2-p^2)-k^2[(k^2-p^2+4)^2-16k^2]}/[4k^2(k^2-p^2)]
= p^2 [k^2 (k^2-p^2)+16(k^2-1)] /[4k^2(k^2-p^2)]
∵k^2-p^2=4xy>0,k^2-1≥0,
∴k^2 (k^2-p^2)+16(k^2-1)>0,又p^2≥0
∴右边 – 左边≥0,
∴不等式①成立.