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设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)中的a,b,c均为奇数.求证:方程f(x)=0无整数根.

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/15 15:52:01
设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)中的a,b,c均为奇数.求证:方程f(x)=0无整数根.
设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)中的a,b,c均为奇数.求证:方程f(x)=0无整数根.
证明:当f(x)=0时 x=-b+-根号b2-4ac/2a
因为abc 均为奇数 所以b2为奇数,b2/2a不可能为整数,所以原方程无整数根
这是第一种情况
第二种,先假设有整数根时,abc都可为奇数
再用因式分解
ax2 +bx+c=a(x-q/a)(x-p/a)
则q/a+p/a为奇数=b,qp/a2为奇数=c
若p,q能被a整除,则可设p=am q=an 且mn 为奇数 则(p+q)/a=a(m+n)必为偶数,与命题相矛盾,所以原方程无整数根