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已知函数f(x)=(1-x)/ax+lnx,若g(x)=f(x)-x/4在[1,e]上单调递增,求正实数a的范围?

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/16 19:59:06
已知函数f(x)=(1-x)/ax+lnx,若g(x)=f(x)-x/4在[1,e]上单调递增,求正实数a的范围?
已知函数f(x)=(1-x)/ax+lnx,若g(x)=f(x)-x/4在[1,e]上单调递增,求正实数a的范围?
f(x)=[(1-x)/(ax)]+lnx,则f'(x)=-(1/ax²)+(1/x),则:
g'(x)=-(1/ax²)+(1/x)-(1/4)=[-(1/a)](1/x)²+(1/x)-(1/4)
则g'(x)在区间[1,e]上必须满足:g'(x)≥0,即:
-(1/a)[1/x)²+(1/x)-(1/4)≥0
-(1/a)≥(1/4)x²-x对x在[1,e]上的任意x恒成立,则:
-(1/a)只要大于等于【(1/4)x²-x】在区间[1,e]上的最大值即可.
M=(1/4)x²-x=(1/4)[x-2]²-1,则M在区间[1,e]上的最大值是M(x=1)=-3/4,所以,
-(1/a)≥-3/4
1/a≤3/4
4/(3a)≤1
(3a-4)/(3a)≥0
得:a≥4/3或a