对称阵都可以表示成另一个矩阵和其转置的乘积吗,比如任意对称阵C,可以找到一个矩阵A,使得C=A'A吗

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/08 09:41:23

对称阵都可以表示成另一个矩阵和其转置的乘积吗,比如任意对称阵C,可以找到一个矩阵A,使得C=A'A吗
如何证明可以或不可以呢

任何一个半正定矩阵A,则存在矩阵C使得
A=C'C
任何一个正定矩阵A,则存在可逆矩阵C使得
A=C'C
一般的矩阵不具有此性质.
证明也很简单,以半正定矩阵为例：
A半正定,则岑在可逆矩阵P使得A=P'DP,其中D为对角阵,且主对角线为特征值,显然都是非负的.不妨设其为D=diag(a1,a2,……,an)
则令C=diag(sqrt(a1),sqrt(a2),……,sqrt(an))P,有
A=C'C
注：
在矩阵分析中,上面的也叫做平方根分解

请问：在复数域内,一个实对称矩阵可以分解为另一个矩阵和他的转置的乘积吗?即A=BB^T? 有关矩阵的证明题“证明对任意的n阶方阵A,存在一个对称矩阵B及一个反对称矩阵C,使得A=B+C,且这种分解是惟一的.”其 A,B为n阶实对称矩阵,且B是正定矩阵,证明：存在实可逆矩阵C使得C'AC和C'BC都是实对角矩阵.C'表示C的转置对称矩阵a为正定矩阵,可以直接说a为实对称矩阵吗?对称矩阵,正定矩阵,实对称矩阵之间的关系是什么呢? 矩阵A是一个n*n的对称矩阵,1.证明A+A‘也是对称矩阵.（' 表示转置）证明：n级实对称矩阵A是正定的充分必要条件为有逆实对称矩阵c使得a=c方求证：任意一个n阶方阵都可以表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和的形式求线性替换矩阵已知AB为对称矩阵,求非奇异矩阵C,使得（C的转置阵）*A*C=B 高数题：设A是对称矩阵,C=BTAB,证明C也是对称矩阵一个矩阵问题；对称矩阵A,B,存在矩阵C,D,使A=C^tBC,B=D^tAD(C^t,D^t表示转置）,求证合同于B 怎样证明一个N阶可逆实矩阵A可由两个可逆的对称矩阵的乘积表示证明任意一个n阶方阵可以表示成一个对称矩阵和反对称矩阵之和