求{[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)]/3}^n在n趋向无穷大时的极限,运用数学分析中两个重要的极限~

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 03:42:07

$求{[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)]/3}^n在n趋向无穷大时的极限,运用数学分析中两个重要的极限~$

令：t=[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)-3]/3
lim(n->∞) t = 0
lim(n->∞) t*n
lim(n->∞) [a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)-3]/3 * n
=lim(n->∞) {a^(1/n)-1}+{b^(1/n)-1}+{c^(1/n)-1} * n/3
=lim {a^(1/n)-1}*n/3+lim {b^(1/n)-1}*n/3+lim {c^(1/n)-1} *n/3
【等价无穷小量代换：a^(1/n)-1 lna*（1/n）】
=lim lna*(1/n)*n/3+lim lnb*(1/n)*n/3+lim lnc*(1/n)*n/3
= ln(abc) /3
∴lim(n->∞) {[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)]/3}^n
=lim(n->∞) { 1 + [a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)-3]/3}^n
=lim(n->∞) {(1 +t)^(1/t)}^t*n
= e^(ln(abc) /3)
= (abc)^(1/3)

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