如图AD为○O的直径,AT为○O的切线,BC∥AD,DB交AT于E点,过E点作要EF⊥CD交DC于F点
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 09:58:39
如图AD为○O的直径,AT为○O的切线,BC∥AD,DB交AT于E点,过E点作要EF⊥CD交DC于F点
(1)求证:角AEB=角ADC
(2)探究 BD、BE、EF三者之间的数量关系,并证明
(3延长CB交AE于M点,若MA=3,MB=1,求EF的长
(1)求证:角AEB=角ADC
(2)探究 BD、BE、EF三者之间的数量关系,并证明
(3延长CB交AE于M点,若MA=3,MB=1,求EF的长
(1)证明:连接AB
因为AD是圆O的直径
所以角ABD=90度
因为角ABD+角ABE=180度
所以角ABE=90度
因为角ABE+角AEB+角BAE=180度
所以角AEB+角BAE=90度
因为AT为圆O的切线
所以角BAE+角BAD=角DAE=90度
所以角BAD=角AEB
因为AD平行BC
所以角ABC+角BAD=180度
因为角ADC+角ABC=180度
所以角ADC=角BAD
所以角AEB=角ADC
(2)BD=BE+EF
证明:连接AC,过点E作EM平行DF交AC于M
所以角AME=角EMC=90度
因为AD是圆O的直径
所以角ACD=角ABD=90度
因为角ABD+角ABE=180度
所以角ABE=90度
因为角ACD+角MCF=180度
所以角MCF=90度
因为EF垂直CD交DC的延长线于F
所以角F=90度
因为角F+角MCF+角EMC+角MEF=360度
所以角MEF=90度
所以角MEF=角F=角MCF=角EMC=90度
所以四边形EMCF是矩形
所以EF=CM
ME=CF
因为角BAD=1/2(弧BC+弧DC)
角ADC=1/2(弧BC+弧AB)
角ADC=角BAD(已证)
所以弧AB=弧DC
所以AB=DC
因为AD=AD
所以三角形BAD和三角形CDA全等(SAS)
所以AC=BD
因为AT为圆O的切线
所以角EAM=角ADC
因为角AEB=角ADC(已证)
所以角EAM=角AEB
角ABE=角AME=90度
因为AE=AE
所以三角形BAE和三角形MEA全等(AAS)
所以AM=BE
因为AC=AM+CM
所以AC=BE+EF
所以BD=BE+EF
设AC与BD相交于O
因为三角形BAE和三角形MEA全等(已证)
所以AB=ME
因为AB=DC(已证)
ME=DC
因为ME=CF(已证)
所以DC=CF
因为角ACD=角F=90度(已证)
所以AC平行EF
所以OD/OE=DC/CF
所以OD=OE=1/2DE
所以AO是直角三角形DAE的中线
所以OA=OE=OD=1/2DE
因为AT是圆O的切线
所以角BAE=角ADE
AM^2=MB*CM
角MAB=角ACM
因为角AMB=角AMB
所以三角形AMB和三角形CMA相似(AA)
所以AB/AC=AM/CM
因为AM=3 MB=1
所以MC=9
因为BC+MB=MC
所以BC=9-1=8
AB/AC=1/3
因为AC=BD
所以AB/BD=1/3
因为角DAE=角ABE=90度
所以三角形BAE和三角形ABD(AA)
所以AB/BD=BE/AB
所以AB^2=BD*BE
所以BE=1/3AB
因为DE=BD+BE
所以DE=10/3AB
所以OD=5/3AB
因为OB=BD-OD
所以OB=4/3AB
所以OB/OD=4/5
因为AD平行BC
所以角OAD=角OCB
角ODA=角OBC
所以三角形OAD和三角形OBC相似(AA)
所以AD/BC=OD/OB
所以AD=10
在直角三角形ABD中,角ABD=90度
由勾股定理得:
AD^2=AB^2+BD^2
所以AB=根号10
所以BD=3倍根号10
BE=3分之一倍根号10
因为BD=BE+EF(已证)
所以EF=3分之8倍根号10
因为AD是圆O的直径
所以角ABD=90度
因为角ABD+角ABE=180度
所以角ABE=90度
因为角ABE+角AEB+角BAE=180度
所以角AEB+角BAE=90度
因为AT为圆O的切线
所以角BAE+角BAD=角DAE=90度
所以角BAD=角AEB
因为AD平行BC
所以角ABC+角BAD=180度
因为角ADC+角ABC=180度
所以角ADC=角BAD
所以角AEB=角ADC
(2)BD=BE+EF
证明:连接AC,过点E作EM平行DF交AC于M
所以角AME=角EMC=90度
因为AD是圆O的直径
所以角ACD=角ABD=90度
因为角ABD+角ABE=180度
所以角ABE=90度
因为角ACD+角MCF=180度
所以角MCF=90度
因为EF垂直CD交DC的延长线于F
所以角F=90度
因为角F+角MCF+角EMC+角MEF=360度
所以角MEF=90度
所以角MEF=角F=角MCF=角EMC=90度
所以四边形EMCF是矩形
所以EF=CM
ME=CF
因为角BAD=1/2(弧BC+弧DC)
角ADC=1/2(弧BC+弧AB)
角ADC=角BAD(已证)
所以弧AB=弧DC
所以AB=DC
因为AD=AD
所以三角形BAD和三角形CDA全等(SAS)
所以AC=BD
因为AT为圆O的切线
所以角EAM=角ADC
因为角AEB=角ADC(已证)
所以角EAM=角AEB
角ABE=角AME=90度
因为AE=AE
所以三角形BAE和三角形MEA全等(AAS)
所以AM=BE
因为AC=AM+CM
所以AC=BE+EF
所以BD=BE+EF
设AC与BD相交于O
因为三角形BAE和三角形MEA全等(已证)
所以AB=ME
因为AB=DC(已证)
ME=DC
因为ME=CF(已证)
所以DC=CF
因为角ACD=角F=90度(已证)
所以AC平行EF
所以OD/OE=DC/CF
所以OD=OE=1/2DE
所以AO是直角三角形DAE的中线
所以OA=OE=OD=1/2DE
因为AT是圆O的切线
所以角BAE=角ADE
AM^2=MB*CM
角MAB=角ACM
因为角AMB=角AMB
所以三角形AMB和三角形CMA相似(AA)
所以AB/AC=AM/CM
因为AM=3 MB=1
所以MC=9
因为BC+MB=MC
所以BC=9-1=8
AB/AC=1/3
因为AC=BD
所以AB/BD=1/3
因为角DAE=角ABE=90度
所以三角形BAE和三角形ABD(AA)
所以AB/BD=BE/AB
所以AB^2=BD*BE
所以BE=1/3AB
因为DE=BD+BE
所以DE=10/3AB
所以OD=5/3AB
因为OB=BD-OD
所以OB=4/3AB
所以OB/OD=4/5
因为AD平行BC
所以角OAD=角OCB
角ODA=角OBC
所以三角形OAD和三角形OBC相似(AA)
所以AD/BC=OD/OB
所以AD=10
在直角三角形ABD中,角ABD=90度
由勾股定理得:
AD^2=AB^2+BD^2
所以AB=根号10
所以BD=3倍根号10
BE=3分之一倍根号10
因为BD=BE+EF(已证)
所以EF=3分之8倍根号10
如图,在等腰梯形ABCD中,AB‖DC,以AD为直径的⊙O交AB于点E,连结DE,⊙O的切线EF交BC于点F,连结BD.
已知如图,在梯形ABCD中,AB‖DC,AD=BC,以AD为直径的圆O交AB于点E,圆O的切线EF交BC
如图,AD=BC,且AD∥BC,O是DB的中点,过点O作EF分别交AB,DC于点E,F,则OE与OF相等吗?为什么?
已知:如图,O为平行四边形ABCD对角线AC的中点,EF、GH过点O,分别交AD、BC、AB、CD于E、F、G、H四点.
AB为直径,AD,BC为圆O切线,CD切圆O于E,AC,DB交于F,证EF平行DA
如图,BD为圆O的直径,A为弦BC的中点,AD交BC于点E,过D作圆O的切线,交BC的延长线于F,AE=2,
如图,△ABC中,以AC为直径的○O与AB切于点A,交BC于D,OE垂直OB交BC于E,AD交OB于F,连EF
已知:如图,BD为⊙O的直径,BC为弦,A为BC弧中点,AF∥BC交DB的延长线于点F,AD交BC于点E,AE=2,ED
已知 如图AB平行于CD AD交BC于点O EF过点O 分别交AB CD于点E F 且AE=DF 求证O是EF的中点(过
如图,AB是⊙O的直径,过点A作AC交⊙O于点D,且AD=CD,连接BC,过点D作⊙O的切线交BC于点E.
如图,以△ABC的边BC为直径作圆O分别交AB、AC于点F点E,AD⊥BC于D,AD交于圆O于M,交BE于H,求证:DM
已知 如图AB平行于CD AD交BC于点O EF过点O 分别交AB CD于点E F 且AE=DF 求证O是EF的中点