求导数函数在分界点处的极限值?

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 17:11:16

求导数函数在分界点处的极限值?
设
f(x)={x^3sin 1/x,x不等于0
0,x=0
（上面两个在一个大括号内的,上面一个下面一个）
求f'(x)
显然lim x趋于0 f(x)=0=f(0),f()x=0 连续.又
lim x趋于0 f'(x)=lim x趋于0 （3x^3 sin 1/x-xcos 1/x ）=0
因此 f'(0)=0 （这里的xcos 1/x 是怎么来的）
从而f'(x)={3x^2sin 1/x-xcos1/x,x不等于0
0,x=0
（同上,也是在一个大括号内）
它是怎么怎么的,用的什么方法?
=3x^2sin(1/x)+x^3cos(1/x)(1/x)'=3x^2sin(1/x)-xcos(1/x)
是怎么算的!
我怎么还是没有看明白!前面是加,怎么弄成减了!请讲清楚!

lim x趋于0 f'(x)=lim x趋于0 （3x^3 sin 1/x-xcos 1/x ）=0
因此 f'(0)=0 （这里的xcos 1/x 是怎么来的）
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xcos(1/x)是f(x)求导后出现的,x≠0时,用两函数乘积的求导法则以及复合函数求导法则：
f'(x)=[x^3sin(1/x)]'=(x^3)'sin(1/x)+x^3[sin(1/x)]'
=3x^2sin(1/x)+x^3cos(1/x)(1/x)'=3x^2sin(1/x)-xcos(1/x)
如此就得到了x≠0时,f(x)的导数.
要求f'(0)一种办法是直接用定义来求,即求极限：lim{x-->0}[f(x)-f(0)]/x.
还有一种办法是用“导数极限定理”,本题用的解法即是.
这个定理内容是：“f(x)在x0连续,在x0的某个空心邻域内可导,如果lim{x-->x0}f'(x)存在,那么f'(x0)也存在并且等于lim{x-->x0}f'(x).”证明可用拉格朗日中值定理.
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