在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=根号5,BC=4,在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O,求
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/06 02:50:21
在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=根号5,BC=4,在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O,求
求C到平面A1ABB1的距离.求二面角A1-AB-C的余弦值.若M,N分别为直线AA1B1C上动点,求MN的最小值.
求C到平面A1ABB1的距离.求二面角A1-AB-C的余弦值.若M,N分别为直线AA1B1C上动点,求MN的最小值.
1、连结AO,A1O,
∵O是A1在平面ABC上的投影,
∴OA1⊥平面ABC,
∴A1O⊥AO,A1O⊥BC,
∵AB=AC=√5,
∴△ABC是等腰△,
∵BO=OC,(已知),
∴AO⊥OB,
OB=BC/2=2,
根据勾股定理,AO=√(AB^2-OB^2)=√(5-4)=1,
∴S△ABC=BC*AO/2=4*1/2=2,
A1O=√(AA1^2-AO^2)=2,
∴VA1-ABC=S△ABC*A1O/3=2*2/3=4/3,
∵同底等高的三棱锥是三棱柱体积的1/3,
VA1-ABC=VC-A1B1C1=V柱ABC-A1B1C1/3,
∴VC-A1B1B=V柱ABC-A1B1C1/3,
∴VC-A1B1B=VA1-ABC=4/3,
设C至平面AA1B1B距离为d,
A1B=√(A1O^2+OB^2)=√(4+4)=2√2,
A1B1=BB1=√5,
作B1M⊥A1B,交A1B于M,
BM=A1B/2=√2,
B1M=√(5-2)=√3,
∴S△A1B1B=A1B*B1M/2=2√2*√3/2=√6,
VC-A1BB1=d*S△A1B1B/3=√6d/3,
√6d/3=4/3,
∴ d=4/√6=2√6/3.
2、设二面角A1-AB-C的平面角为θ,
∵△AOB是△A1AB在平面ABC上的投影,
∴S△AOB=S△A1AB*cosθ,
S△AOB=AO*BO/2=1*2/2=1,
由前所述,S△A1AB=S△A1B1B=√6,(二△全等),
∴cosθ=1/√6=√6/6.
∴二面角A1-AB-C的余弦值为√6/6.
3、∵AA1//BB1,
M∈AA1,N∈BB1,
MN的最小值就是平行线的距离,
从平行线段的任一点作另一线段的垂线段,则就是二平行线的距离,即MN的最小值,
在△A1AB中,作BQ⊥AA1,
S△A1AB=√6,
S△A1AB=AA1*BQ/2=√5*BQ/2=√6,
∴BQ=2√6/√5=2√30/5.
∴MN的最小距离为2√30/5.
稍等.正上传图
∵O是A1在平面ABC上的投影,
∴OA1⊥平面ABC,
∴A1O⊥AO,A1O⊥BC,
∵AB=AC=√5,
∴△ABC是等腰△,
∵BO=OC,(已知),
∴AO⊥OB,
OB=BC/2=2,
根据勾股定理,AO=√(AB^2-OB^2)=√(5-4)=1,
∴S△ABC=BC*AO/2=4*1/2=2,
A1O=√(AA1^2-AO^2)=2,
∴VA1-ABC=S△ABC*A1O/3=2*2/3=4/3,
∵同底等高的三棱锥是三棱柱体积的1/3,
VA1-ABC=VC-A1B1C1=V柱ABC-A1B1C1/3,
∴VC-A1B1B=V柱ABC-A1B1C1/3,
∴VC-A1B1B=VA1-ABC=4/3,
设C至平面AA1B1B距离为d,
A1B=√(A1O^2+OB^2)=√(4+4)=2√2,
A1B1=BB1=√5,
作B1M⊥A1B,交A1B于M,
BM=A1B/2=√2,
B1M=√(5-2)=√3,
∴S△A1B1B=A1B*B1M/2=2√2*√3/2=√6,
VC-A1BB1=d*S△A1B1B/3=√6d/3,
√6d/3=4/3,
∴ d=4/√6=2√6/3.
2、设二面角A1-AB-C的平面角为θ,
∵△AOB是△A1AB在平面ABC上的投影,
∴S△AOB=S△A1AB*cosθ,
S△AOB=AO*BO/2=1*2/2=1,
由前所述,S△A1AB=S△A1B1B=√6,(二△全等),
∴cosθ=1/√6=√6/6.
∴二面角A1-AB-C的余弦值为√6/6.
3、∵AA1//BB1,
M∈AA1,N∈BB1,
MN的最小值就是平行线的距离,
从平行线段的任一点作另一线段的垂线段,则就是二平行线的距离,即MN的最小值,
在△A1AB中,作BQ⊥AA1,
S△A1AB=√6,
S△A1AB=AA1*BQ/2=√5*BQ/2=√6,
∴BQ=2√6/√5=2√30/5.
∴MN的最小距离为2√30/5.
稍等.正上传图
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=根号5 ,BC=4 ,点A1在底面的投影恰好是BC中点O ,如果我现
在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=根号5,BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段 (不用空间向量
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=根号2,BC=CA=AA1=1,A1点在底面ABC上的射影为O
在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直底面ABC,AB垂直BC,D为AC的中点,AA1=AB=2,BC=3
在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,AA1=BC=4,点D是AB的中点,求三棱锥A1-B
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,D为AC的中点,AA1=AB=2.
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点
如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AC=BC,M,N分别是棱CC1,AB的中点
三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=AB=AC=a,∠BAC=90°,顶点A1在底面ABC上的射影为BC的中点M
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4,D是AB中点,求证AC1平行面CDB1
如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.(Ⅰ)求证AC⊥BC