怎么填中间是“-7”的九格方阵图

怎么填中间是“-7”的九格方阵图

一个n阶幻方中,因为每行的数字相等= 数字和=各行数字和(魔数)×行数
n (n +1) = m × n ---> M = n(n +1)
因此我们可以利用这个公式来计算魔术方阵的魔术:
三阶幻方的魔数为 15
四阶幻方的魔数为 34
五阶幻方的魔数为 65
魔术方阵制作歌诀
三阶幻方(九宫数):[九子斜排,上下对异,左右相更,四维挺出,戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足.]
四阶幻方(阴图):[易换术曰:以十六子,依次递作四行排列,先以外四子对换,一换十六,四换十三,以四内角对换,六换十一,七换十,横直上下斜角,皆三十四数,对换止可施之於小.]
魔术方阵的个数
由排列组合计算,可以发现,由整数所组成的n阶方阵的数目 (n2)!种,成阶层式的增加,所以我们也预测幻方的数目应是随著阶数的增加而大幅增加.若由已知条件和未知变数来看,在三阶以上的方阵,未知数的数目都大於已知条件,而且条件增加的速度远比未知数数目增加得慢,若不发生矛盾的现象,解应该是随阶数而增加的.
阶
方阵排列组合数目
幻方数目
1
1种
1个
2
24种
0个
3
362880种
8个
4
20922789888000种
7040个
5
371993326789901217467999448150835200000000种
2202441792个
由幻方的旋转,我们可以得到四种变化:
0 度 90度 180度 270度 四种旋转
若将幻方整个翻转过来,又可以的到另外的四个不同的幻方,
可知幻方的数目必为8的倍数.
a.顺时针旋转270度,180度,90度
b.依照铅直,水平对称轴镜射
c.依照左上→右下,右上→左下对角线镜射总共有八种
我们可以以3阶方阵为例,可求出其他7个幻方:
原方阵
8
1
6
3
5
7
4
9
2
90度
4
3
8
9
5
1
2
7
6
180度
2
9
4
7
5
3
6
1
9
270度
6
7
2
1
5
9
9
3
4
铅直
6
1
8
7
5
3
2
9
4
水平
4
9
2
3
5
7
8
1
6
左上右下
8
3
4
1
5
9
6
7
2
右上左下
2
7
6
9
5
1
4
3
8
魔术方阵的建构方法
魔术方阵要满足各行各列各对角线之和相等的条件,是否有简单的方法可以达到这个目标呢 以下我们就来探讨一下有关魔术方阵建构的问题.
三阶幻方的建构方法:
一开始我们由三阶的魔术方阵做起,魔术方阵是一个有趣的数学问题,不过如果我们严肃的看他,其实魔术方阵就是一个满足许多简单数字和条件的一种方阵.假使我们将一个三阶的魔术方阵用八个等式表现出来,即:
a + b + c = 15 d + e + f = 15 g + h + i = 15
a + d + g = 15 b + e + h =15 c + f + i = 15
a + e + i = 15 c + e + g = 15
a
b
c
d
e
f
g
h
i
解这有九个变数的联立方程式,我们可以得到下面的结果.
由旁边的结果我们可以用讨论的方式得到魔术方阵
a
10-h
h+5-a
h+10-2a
5
2a-h
5-h+a
h
10-a
2k+1
10-h
h+4-2k
h+8-4a
5
4k+2-h
6-h+2k
h
9-2k
1.若 a = 2k+1 (奇数)
若h为偶数,则10-h,h+4-2k,h+8-4k,4k+2-h,6-h+2k,h 这几个数都是偶数.有六个偶数出现,不过因为三阶魔术方阵是由1~9这几.个数字所构成的->与前提相矛盾.
b.若h为奇数,则所有的数字都是奇数->与前提矛盾.
c.由以上可知若a为奇数,不可能造出魔术方阵.
2.若 a = 2,4,6,8 则刚好都可以各造出两个方阵..
2k+1
10-h
h+4-2k
h+8-4a
5
4k+2-h
6-h+2k
h
9-2k
四阶幻方的建构方法
接下来我们来探讨一下四阶方阵的建构方法.首先我们观察一下变数以及已之条件的变化情形.四阶幻方的已之条件有10条(各行各列各对角线之和等於魔数),但是四阶幻方的变数却有16个之多.由此可知我们如果要利用像三阶幻方那样的"暴力"解法的话是行不通的.因此我们转为利用分析的方式来一步一步的建构四阶魔术方阵.
首先我们先将魔术方阵填成如下图的模样:
1
2
3
4
5
6
7
8
17-8
17-7
17-6
17-5
17-4
17-3
17-2
17-1
可以看出两对角线已经是相等而且等於魔数,所以将对角线上的数字固定.
由直列和的关系可以将方阵加以调整.
34-6 34-2 34+2 34+6