一道4阶行列式的题 急 .
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/17 08:30:03
一道4阶行列式的题 急 .
证明:
1 1 1 1
a b c d
a平方 b平方 c平方 d平方
a四次方 b四次方 c四次方 d四次方
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)
证明:
1 1 1 1
a b c d
a平方 b平方 c平方 d平方
a四次方 b四次方 c四次方 d四次方
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)
![一道4阶行列式的题 急 .](/uploads/image/z/16225418-2-8.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%934%E9%98%B6%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E7%9A%84%E9%A2%98+%E6%80%A5+.)
作辅助行列式D1 =
1 1 1 1 1
a b c d x
a^2 b^2 c^2 d^2 x^2
a^3 b^3 c^3 d^3 x^3
a^4 b^4 c^4 d^4 x^4
此为Vandermonde行列式,故
D1 = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d).
又因为行列式D1中x^3的系数-M45即为行列式D
所以
D = -(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(-a-b-c-d)
= (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).
1 1 1 1 1
a b c d x
a^2 b^2 c^2 d^2 x^2
a^3 b^3 c^3 d^3 x^3
a^4 b^4 c^4 d^4 x^4
此为Vandermonde行列式,故
D1 = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d).
又因为行列式D1中x^3的系数-M45即为行列式D
所以
D = -(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(-a-b-c-d)
= (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).