如图，在▱ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/29 20:28:33

（1）试说明：BF=DE；
（2）试说明：△ABE≌△CDF；
（3）如果在▱ABCD中，AB=5，AD=10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）

如图，在▱ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ODE=∠OBF，
∵EF垂直平分BD，
∴OB=OD，

在△OBF和△ODE中，

∠OBF＝∠ODE
OB＝OD
∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF=DE；
（2）∵四边新ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠A=∠C，AD=BC，
∵BF=DE，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，

AB＝CD
∠A＝∠C
AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
（3）∵EF垂直平分BD，
∴BF=DF，
∵△ABE≌△CDF，
∴DF=BE，AE=CF，
∴△DFC的周长是DF+CF+CD=BF+CF+CD=BC+CD=15，
△ABE的周长也是15，
①当P在AB上，Q在CD上，
∵AB∥CD，
∴∠BPO=∠DQO，
∵∠POB=∠DOQ，OB=OD，

∴△BPO≌△DQO，
∴BP=DQ，
∴m+n
=BP+DF+CF+CQ
=DF+CF+CQ+DQ
=DF+CF+CD
=15 　　　
②当P在AE上，Q在CF上，
∵AD∥BC，
∴∠PEO=∠QFO，
∵△EOD≌△FOB，
∴OE=OF，
∵∠PEO=∠QFO，∠EOP=∠FOQ，
∴△PEO≌△QFO，
∴PE=QF，
∵AE=CF，
∴CQ=AP，
m+n
=AB+AP+DF+PQ
=CD+CQ+DF+FQ
=DF+CF+CD
=15；
③当P在BE上，Q在DF上，
∵AD=BC，AE=CF，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF，
∴∠PEO=∠FQO，
∵∠EOP=∠FOQ，OE=OF，
∴△PEO≌△FQO，
∴PE=FQ，
∴m+n
=AB+AE+PE+DQ
=CD+CF+QF+DQ
=DF+CF+CD
=15．

如图,已知BD为平行四边形ABCD的对角线,O为BD重点,EF垂直BD于点O,与AD,BC分别交于E,F.求证：DE＝D 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF过点O，并与AD，BC边分别交于点E，F．如果AB=4，BC=5，O 已知：如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．求证：DE 如图,BD为平行四边形ABCD的对角线点O为BD的中点,EF⊥BD于点O,且与AD、BC分别交于点E、F求证BEDF是菱如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,EF过点O交AD于点E,交BC于点F,且AF垂直BC,求证：四如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,EF过点O交AD于点E,交BC于点F,且AF垂直BC证AFCE 已知：如图,BD为平行四边形ABCD的对角线,O为BD的中点,EF⊥BD于点O,与AD、BC分别交于点E、F. 如图,BD为平行四边形ABCD的对角线,O为BD的中点,EF⊥BD于点O,与AD,BC分别交于点E,F.求证:DE=DF 如图,ABCD中,对角线AC、BD交于O点,EF过O分别交BC、AD于点E、F,且AE垂直BC,求证四边形AECF是矩形如图平行四边形ABCD中 AB垂直AC 垂足为A 对角线AC BD相交于点O 过点O的直线EF分别交边AD BC于点E 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O的直线分别交BC、AD于F、E．若AD=6cm，AB=5cm，OE 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．