已知椭圆方程x∧2/2+y∧2=1,过点S(0,-1/3)的动直线l交该椭圆于A,B两点
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/10 18:22:29
已知椭圆方程x∧2/2+y∧2=1,过点S(0,-1/3)的动直线l交该椭圆于A,B两点
试问:在坐标平面内是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过定点T,若存在求出T的坐标;若不存在,请说明理由.
试问:在坐标平面内是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过定点T,若存在求出T的坐标;若不存在,请说明理由.
当直线l与x轴平行时,以AB为直径的圆方程为x²+(y+1/3)²=(4/3)²,
当直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆方程为x²+y²=1
∴两圆的切点为点(0,1),
故所求的点T为点(0,1),证明如下.
①当直线l与x轴垂直时,以AB为直径的圆过点(0,1);
②当直线l与x轴不垂直时,可设直线l:y=kx−1/3,
连立椭圆方程x²/2+y²=1,得:
(18k²+9)x²-12kx-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则:
x1+x2=12k/(18k²+9),x1x2=−16/(18k²+9),
向量TA=(x1,y1-1),向量TB=(x2,y2-1),
∴TA•TB=x1x2+y1y2-y1-y2+1
=(1+k²)x1x2−4/3k×(x1+x2)+16/9
=(-16-16k²)/(18k²+9)-(16k²)/(18k²+9)+16/9
=-(32k²+16)/(18k²+9)+16/9
=0
∴TA⊥TB,即以AB为直径的圆过点(0,1).
综上所述,存在一个定点T(0,1),使得以AB为直径的圆恒过定点T.
【解决这类问题时,可以先假设存在这个定点,再通过特殊位置求出这个定点的坐标,最后求证这个定点符合题意.】
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当直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆方程为x²+y²=1
∴两圆的切点为点(0,1),
故所求的点T为点(0,1),证明如下.
①当直线l与x轴垂直时,以AB为直径的圆过点(0,1);
②当直线l与x轴不垂直时,可设直线l:y=kx−1/3,
连立椭圆方程x²/2+y²=1,得:
(18k²+9)x²-12kx-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则:
x1+x2=12k/(18k²+9),x1x2=−16/(18k²+9),
向量TA=(x1,y1-1),向量TB=(x2,y2-1),
∴TA•TB=x1x2+y1y2-y1-y2+1
=(1+k²)x1x2−4/3k×(x1+x2)+16/9
=(-16-16k²)/(18k²+9)-(16k²)/(18k²+9)+16/9
=-(32k²+16)/(18k²+9)+16/9
=0
∴TA⊥TB,即以AB为直径的圆过点(0,1).
综上所述,存在一个定点T(0,1),使得以AB为直径的圆恒过定点T.
【解决这类问题时,可以先假设存在这个定点,再通过特殊位置求出这个定点的坐标,最后求证这个定点符合题意.】
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