如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P，Q，R分别是棱BC，CD，DD1的中点．下列命题：

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/17 23:45:43

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，P，Q，R分别是棱BC，CD，DD₁的中点．下列命题：
①过A₁C₁且与CD₁平行的平面有且只有一个；
②平面PQR截正方体所得截面图形是等腰梯形；
③AC₁与QR所成的角为60°；
④线段EF与GH分别在棱A₁B₁和CC₁上运动，且EF+GH=1，则三棱锥E-FGH体积的最大值是

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P，Q，R分别是棱BC，CD，DD1的中点．下列命题：

①CD₁∥A₁B，A₁B∩A₁C₁=A₁，则过A₁B，A₁C₁有且只有一个平面，所以过A₁C₁且与CD₁平行的平面有且只有一个，①正确，
②做RM平行PQ，交BB1于M；做PN平行于QR，交A₁D₁于NPQRMN这五点所构成的五边形即为截面，②错误；
③连结AC₁，DC₁，则，DC_1^为AC₁在平面DC₁，内的射影，DC₁⊥RQ，由三垂线定理可知AC₁⊥QR，所成的角为90°，③错误；
④设G在H上方，则V_{三棱锥E-FGH}=V_{三棱锥G-EFC1}-V_{三棱锥H-EFC1}=
1
3×EF×GC₁-
1
3×EF×HC₁=
1
3×EF×GH，而EF+GH=1，则EF×GH的最大值=
1
4，④正确；
⑤以D₁为坐标原点，以D₁A₁，D₁C₁，D₁D所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，则

OM•

ON=（

OS+

SM）•（

OS+

SN）=（

OS+

SM）•（

OS-

SM）=

OS²-1∈[0，2]，⑤正确．
故答案为：①④⑤．

如图,棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中.E、F分别为DD1、DB的中点如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、DD1、CD的中点,N是BC的中点, 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N,分别为棱DD1,AB,BC的中点,求证PB⊥平面MNB1 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．在棱长为1的正方体 ABCD—A1B1C1D1中,P为DD1 的中点,O1O2O3分别是面A1B1C1D1的面 BB1 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1、DB的中点．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中E,F分别为DD1,BD的中点.求三棱锥VB1-EFC的体积如图,在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点