百度作业网一道初三数学题,貌似是二次函数...
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/26 16:43:57
一道初三数学题,貌似是二次函数...
设a,b,c是非零实数,x,y,z是任意实数,求证：(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)>=(ax+by+cz)^2,等号仅当x/a=y/b=z/c时成立
要详细解答过程～～～
答得好有追分～～～
谢谢各位,帮帮忙～～
设a,b,c是非零实数,x,y,z是任意实数,求证：(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)>=(ax+by+cz)^2,等号仅当x/a=y/b=z/c时成立
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(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2
=(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2y^2+c^x^2+a^2z^2)-(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2czax)
=(a^2y^2-2axby+b^2x^2)+(b^2z^2-2bycz+c^2y^2)+(c^2x^2-2czax+a^2z^2)
=(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2>=0
当且仅当ay-bx=bz-cy=cx-az=0
即x/a=y/b=z/c时等号成立
=(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2y^2+c^x^2+a^2z^2)-(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2czax)
=(a^2y^2-2axby+b^2x^2)+(b^2z^2-2bycz+c^2y^2)+(c^2x^2-2czax+a^2z^2)
=(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2>=0
当且仅当ay-bx=bz-cy=cx-az=0
即x/a=y/b=z/c时等号成立