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大一简单求导题困惑.设 y=y(x) 由方程 x^y + y^x = 3确定,求曲线y=y(x) 在(1,2)处的切线方

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/21 23:22:46
大一简单求导题困惑.
设 y=y(x) 由方程 x^y + y^x = 3确定,求曲线y=y(x) 在(1,2)处的切线方程.
y - 2 = (-2 -2ln2)*(x - 1)
注:x^y + y^x = 3为 x的y次方+y的x次方等于3
提问:为什么方程两边取ln来求导和直接求导的结果不一样?
可是直接求导和答案一样啊,有公式:
(x^y)' = x^y * y' * lnx + y * x^(y - 1)
大一简单求导题困惑.设 y=y(x) 由方程 x^y + y^x = 3确定,求曲线y=y(x) 在(1,2)处的切线方
(你的疑惑是不是求导的问题)
x^y+y^x=3
对数法:
两边分别取对数:
ln(x^y+y^x)=ln3
你是不是这步做错了,误以为:
ln(x^y+y^x)=ylnx+xlny(?)
如果这样就错了!不相等的!
其实只要两边对X求导就行了
z=y^x
lnz=xlny
z'/z=lny+xy'/y
z'=(lny+xy'/y)(y^x)
z=x^y
lnz=ylnx
z'/z=y'lnx+y/x
z'=(y'lnx+y/x)(x^y)
x^y+y^x=3
(y'lnx+y/x)(x^y)+(lny+xy'/y)(y^x)=0
将(1,2)代入
2+(ln2+y'/2)2=0
1+ln2=-y'/2
y'=-2-2ln2
斜率是:-2-2ln2
方程是:
y-2=(-2-2ln2)(x-1)