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第一型曲面积分问题计算∫∫(x^2+y^2)dS 其中S是锥面z^2=3(x^2+y^2)被平面z=0和z=3所截的部分

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/04 18:19:53
第一型曲面积分问题
计算
∫∫(x^2+y^2)dS 其中S是锥面z^2=3(x^2+y^2)被平面z=0和z=3所截的部分
第一型曲面积分问题计算∫∫(x^2+y^2)dS 其中S是锥面z^2=3(x^2+y^2)被平面z=0和z=3所截的部分
因为锥面得,Z=√(3x²+3y²)
由于(Zx)²=3x²/(x²+y²),(Zy)²=3y²/(x²+y²),
所以√(1+(Zx)²+(Zy)²)=√(1+3)=2
故∫∫﹙x^2+y^2﹚dS
=2∫∫﹙x^2+y^2﹚dxdy
(由于z=3与z^2=3(x^2+y^2)相交得:9=3(x^2+y^2),即x²+y²=3,故积分投影区域为:x²+y²≤3)
转化为极坐标,得
=2∫∫ r^2 *rdrdθ
=2∫(0,2π) dθ∫(0,√3) r³ dr
=4π*(1/4)r^4 |(0,√3)
=9π
故∫∫(x^2+y^2)dS =9π.