以三角形ABC的边AB,AC为边长向三角形外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,CD与B相交于点O,求证：OA平分角D

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/23 01:21:46

以三角形ABC的边AB,AC为边长向三角形外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,CD与B相交于点O,求证：OA平分角DOE

首先在BE上取一点F使EF等于OC,连接AF;AC交BE于G点.
∵△ADB和△ACE是等边三角形
∴AD=DB=AB AC=AE=CE ∠DAB=ABD=BDA=CAE=AEC=ECA=60°
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC
∴∠DAC=∠BAE
∴△DAC=△BAE
∴∠ACD=∠AEB
在△AGE与△OGC中,∵∠AEB=∠ACD ∠AGE=∠OGC（顶角相等）
∴△AGE与△OGC是相似三角形
∴∠GOC=∠EAG=60°
又∵AE=AC EF=OC ∠ACD=∠AEB
所以△AOC与△AEF是全等三角形
∴∠OAC=∠FAE AO=AF
∴∠OAC+∠CAF=∠FAE+∠CAF=∠OAF=∠CAE=60°
∵∠OAF=∠CAE=60° AO=AF
∴△AOF是等边三角形
∴∠AOE=60°
又∵∠GOC=60°
∴∠AOD=180°-∠AOE-∠GOC=60°
∴∠AOD=∠AOE=60°
所以AO平分∠DOE