百度作业网高数积分 1/（1+x^4),
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 00:17:56
高数积分 1/（1+x^4),
方法一：
1＋x^4＝(x^2－√2x＋1)(x^2＋√2x＋1),按照有理函数的部分分解的方法,
1/(1+x^4)＝1/(2√2)×[(x+√2)/(x^2+√2x+1)－(x-√2)/(x^2-√2x+1)]
接下去的做法就是把分子拆成两部分：一部分是分母的导数的一个倍数,一部分是常数,这是有理函数的不定积分的定式.
方法二：
∫(x^2+1)/(1+x^4)dx＝∫(1+1/x^2)/(x^2+1/x^2)dx＝∫1/(x^2+1/x^2)d(x-1/x)＝∫1/[(x-1/x)^2＋2]d(x-1/x)＝1/√2×arctan[(x-1/x)/√2]＋C＝1/√2×arctan[(x^2-1)/√2x]＋C
∫(x^2-1)/(1+x^4)dx＝∫(1-1/x^2)/(x^2+1/x^2)dx＝∫1/(x^2+1/x^2)d(x+1/x)＝∫1/[(x+1/x)^2－2]d(x+1/x)＝1/(2√2)×ln|(x+1/x-√2)/(x+1/x+√2)|＋C＝1/(2√2)×ln|(x^2－√2x＋1)/(x^2＋√2x＋1)|＋C
所以,∫1/(1+x^4)dx＝1/(2√2)×arctan[(x^2-1)/√2x]＋1/(4√2)×ln|(x^2－√2x＋1)/(x^2＋√2x＋1)|＋C
－－－－－－－－
注：两种做法得到的结果形式稍有不同,第一种做法的结果中出现二个反正切函数
1＋x^4＝(x^2－√2x＋1)(x^2＋√2x＋1),按照有理函数的部分分解的方法,
1/(1+x^4)＝1/(2√2)×[(x+√2)/(x^2+√2x+1)－(x-√2)/(x^2-√2x+1)]
接下去的做法就是把分子拆成两部分：一部分是分母的导数的一个倍数,一部分是常数,这是有理函数的不定积分的定式.
方法二：
∫(x^2+1)/(1+x^4)dx＝∫(1+1/x^2)/(x^2+1/x^2)dx＝∫1/(x^2+1/x^2)d(x-1/x)＝∫1/[(x-1/x)^2＋2]d(x-1/x)＝1/√2×arctan[(x-1/x)/√2]＋C＝1/√2×arctan[(x^2-1)/√2x]＋C
∫(x^2-1)/(1+x^4)dx＝∫(1-1/x^2)/(x^2+1/x^2)dx＝∫1/(x^2+1/x^2)d(x+1/x)＝∫1/[(x+1/x)^2－2]d(x+1/x)＝1/(2√2)×ln|(x+1/x-√2)/(x+1/x+√2)|＋C＝1/(2√2)×ln|(x^2－√2x＋1)/(x^2＋√2x＋1)|＋C
所以,∫1/(1+x^4)dx＝1/(2√2)×arctan[(x^2-1)/√2x]＋1/(4√2)×ln|(x^2－√2x＋1)/(x^2＋√2x＋1)|＋C
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注：两种做法得到的结果形式稍有不同,第一种做法的结果中出现二个反正切函数