百度作业网一道级数的和的问题1、求级数n^2/n!的和（式子前面有个加总符号,且从1到无穷,由于不会打,只能在此说明了）
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 08:08:33
一道级数的和的问题
1、求级数n^2/n!的和（式子前面有个加总符号,且从1到无穷,由于不会打,只能在此说明了）
1、求级数n^2/n!的和（式子前面有个加总符号,且从1到无穷,由于不会打,只能在此说明了）
为了计算出 ∑n^2/n!的值,构造如下的和函数 S（x）= ∑[n^2*x^(n-1)]/n!= ∑[n*x^(n-1)]/(n-1)!
然后将和函数进行积分得 ∫S（x）dx = ∫∑[n*x^(n-1)]/(n-1)!dx = ∑x^n/(n-1)!= x[∑x^（n-1）/(n-1)!] (这里是从 0 到 x 的定积分)
很显然级数 x^（n-1）/(n-1)!= e^x
于是有 ∫S（x）dx = x*e^x ,然后将两端进行求导得 S（x）= （x + 1）*e^x
当取 x=1 时,S（x）= ∑n^2/n!=（x + 1）*e^x = 2e
构造和函数是非常常用的求级数的方法,很微妙的,楼主好好体会一下吧.我空间里还有类似的例子,楼主感兴趣的话可以去看看去.
然后将和函数进行积分得 ∫S（x）dx = ∫∑[n*x^(n-1)]/(n-1)!dx = ∑x^n/(n-1)!= x[∑x^（n-1）/(n-1)!] (这里是从 0 到 x 的定积分)
很显然级数 x^（n-1）/(n-1)!= e^x
于是有 ∫S（x）dx = x*e^x ,然后将两端进行求导得 S（x）= （x + 1）*e^x
当取 x=1 时,S（x）= ∑n^2/n!=（x + 1）*e^x = 2e
构造和函数是非常常用的求级数的方法,很微妙的,楼主好好体会一下吧.我空间里还有类似的例子,楼主感兴趣的话可以去看看去.
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