如何证明A是正规矩阵当且仅当A有n个标准正交特征向量.A是n阶复矩阵

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/27 02:37:34

“A有n个标准正交特征向量”的另一种讲法就是“A可以酉对角化”
充分性比较简单,直接从A=QDQ^H验证正规性
必要性：首先A可以酉上三角化A=QTQ^H,然后直接验证T是正规阵
要继续证明T是对角阵需要用一条性质：如果B是正规阵,分块成
B=
B11 B12
B21 B22
其中B11和B22是方阵,那么||B12||_F=||B21||_F,这里||X||_F^2表示X的所有元素的模的平方和
这条性质直接从BB^H=B^HB出发验证
然后对T做任意分块都能得到B21=0,推出B12=0,所以T只能是对角阵

如何证明n阶矩阵A即是正交矩阵又是正定矩阵当且仅当A为单位矩阵? 设A为n阶矩阵,且有n个正交的特征向量,证明:A为实对称矩阵设A为n阶实矩阵,证明A是正交矩阵当且仅当对任意的n维向量α,β有(Aα,Aβ)=(α,β) 设A,B均为n阶矩阵.证明:分块矩阵AB BA是可逆矩阵当且仅当A+B A-B均为可逆矩阵矩阵证明设A, B均为n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵当且仅当A与B可交换 A是n阶矩阵,证明：A可逆当且仅当对任意n维向量β,方程组Ax=β有解大学线性代数可逆矩阵设A,B均为n阶矩阵.证明:分块矩阵（A B)是可逆矩阵当且仅当A+B与A-B均为可逆矩阵B A 设A是n阶实对称矩阵证明:A是半正定矩阵当且仅当对任意n阶半正定矩阵B都有tr(AB)大于等于证明：A是反对称矩阵,当且仅当对任一个n维向量X,有X'AX＝0. 设A,B是n阶矩阵,证明:当且仅当A和B都可逆,乘积矩阵AB可逆. n阶矩阵A既是正交矩阵又是正定矩阵证明A是单位矩阵证明一个N阶实对称矩阵A是正定的当且仅当存在可逆实对称矩阵B,满足A=B*B