用二进制思想方法证明：n个不同的素数的乘积有2的n次方减2个约数.

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/09 01:47:30

举个例子可能好懂一些.
首先要明白,其实n个不同的素数的乘积的约数,就是这n个不同的素数自己本身以及这n个不同素数间的相互的乘积.
例如3个不同的素数3、5、7的乘积105的约数就是3、5、7、3*5、5*7、3*7这六个数.
可以验证一下,2^3-2=6,刚好等于六,题设成立.
楼主可以自己再举一些例子,都是满足这个规律的.
那么我们如何用二进制的思想去证明呢?
其实我们可以把上面这3个素数看成是3位的二进制数的三个位,这个3位的二进制数第0位对应7,第1位对应5,第2位对应3.如下图：
0 0 0
↓ ↓ ↓
3 5 7
当约数中出现了该素数,对应的二进制位为1,没有出现的素数对应的二进制位为0.
我们看回我们的六个约数：3、5、7、3*5、5*7、3*7.
这样,约数3对应的二进制是100,约数5对应的二进制是010,约数7对应的二进制是001
3*5是110,5*7是011,3*7是101.
这样,因为一个n位的二进制一共有2^n那么多个数,又由于某个数的约数不算0和自己本身,即没有000和111,故要减去2.
因此n个不同的素数的乘积有2的n次方减2个约数.
不知道是否明白...
再问：其实后来我是这样想的：每一个素数本身就是乘积的约数，那么n个素数，它们乘积的约数个数用二进制表示就有n个1，即2^n个，又因为不能算1和他本身，所以它的约数个数就要减2。谢谢你的答案，基本上就是这样了

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