两道三角函数题求证sin(3a/3)+3sin(3a/3^2)+.+3^(n-2)sin(3a/3^n-1)=0.25

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 02:18:21

两道三角函数题求证sin(3a/3)+3sin(3a/3^2)+.+3^(n-2)sin(3a/3^n-1)=0.25*(3^nsin(a/3^n)-sina)
同上.求证：sin(3a/3)+3sin(3a/3^2)+.+3^(n-2)sin(3a/3^n-1)=0.25*(3^nsin(a/3^n)-sina)
求证：tan(a)+2tan(2a)+2^(n-1)tan(2^n-1)=cot(a)-2^(n)cot(2^(n)a)

求证tanα+2tan2α+4tan4α+……+2^ntan2^nα=cotα-2^(n+1)cot2^（n+1）α
【证明】
cot2^nα-tan2^nα=cos2^nα/sin2^nα-sin2^nα/cos2^nα
= [(cos2^nα)²-( sin2^nα) ²]/[sin2^nαcos2^nα]
= cos2^(n+1)α/[1/2 sin2^(n+1)α]
=2 cos2^(n+1)α/sin2^(n+1)α
=2 cot2^(n+1)α.
即cot2^nα-tan2^nα=2 cot2^(n+1)α.
tan2^nα= cot2^nα-2 cot2^(n+1)α.
2^ntan(2^nα)= = 2^n cot2^nα- 2^(n+1)cot2^(n+1)α.
令n=0,1,2,3……得：
tanα= cotα-2 cot2α,
2tan2α=2 cot2α-2^2 cot2^2α,
2^2tan(2^2α)= 2^2 cot2^2α-2^3 cot2^3α,
……………………
2^ntan(2^nα)= = 2^n cot2^nα- 2^(n+1)cot2^(n+1)α,
以上各式相加得：
tanα+2tan2α+2^2tan(2^2α)+……+2^ntan(2^nα)=cotα-2^(n+1)cot2^(n+1)α.
【说明】本题主要用到一个公式：tanα-cotα=-2cot2α.

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