用一个平面去截正方体,截面可能是七边形吗?请说出原因

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 13:48:10

这道题看似简单,其实证明很麻烦.结论是不可能,也就是一个平面截一个
正方体,不可能同时与它的七个棱相交.直观上是明显的,最多交六个棱.
我们用代数证明,取坐标系,使12个棱上点的坐标分别是：（a,0,0）
（0,b,0）,（0,0,c）,（1,b.0）,（1,0,c）,（a,1,0）,（0,1,c）,
（a,0,1）,（0,b,1）,（1,1,c）,（1,b,1）,（a,1,1）.[0＜a,b.c＜1]
然后取七个点（共C[12,7]种取法）,再证明这七个点不共面行了.我作一个吧
设平面 mx+ny+pz+q＝0[m,n,p不全为0]过后七个点,（a,1,0）,（0,1,c）,
（a1,0,1）,（0,b,1）,（1,1,c1）,（1,b1,1）,（a2,1,1）.则有：
ma+n++q＝0
n+pc+q＝0
ma1++p+q＝0
nb+p+q＝0
m+n+pc1+q＝0
m+nb1+p+q＝0
ma2+n+p+q＝0
把它看成m,n,p,q的齐次线性方程组,容易计算（我具体计算了）其系数矩阵
的秩为4,方程组只有零解,即m＝n＝p＝q＝0,这与[m,n,p不全为0]矛盾.
[我说麻烦,就是要计算C[12,7]＝792个矩阵的秩都是4,这已经超出人力范围
了!]

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