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求证:任何大于1的自然数的立方,一定可以写成两个自然数的平方差.

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/04 03:26:58
求证:任何大于1的自然数的立方,一定可以写成两个自然数的平方差.
求证:任何大于1的自然数的立方,一定可以写成两个自然数的平方差.
设m³=a²-b²=(a-b)(a+b),m>1
a-b与a+b的奇偶性相同
也就是说,只要a²-b²能分解成两个奇偶性相同的数的乘积,
方程组
a-b=k1
a+b=k2
就一定有自然数解
1)m为偶数时
m³至少含有两个因数2,所以一定能分解成两个偶数的乘积
2)m为奇数时
m³也是奇数,至少能分解成1和m³这两个奇数的乘积
所以:任何大于1的自然数的立方,一定可以写成两个自然数的平方差