(2014•镇江)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点M为抛物线y=-x2+2nx-n2+2n的顶点,过点(0,4)作x
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/15 14:18:57
(2014•镇江)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点M为抛物线y=-x2+2nx-n2+2n的顶点,过点(0,4)作x轴的平行线,交抛物线于点P、Q(点P在Q的左侧),PQ=4.
(1)求抛物线的函数关系式,并写出点P的坐标;
(2)小丽发现:将抛物线y=-x2+2nx-n2+2n绕着点P旋转180°,所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O,你认为正确吗?请说明理由;
(3)如图2,已知点A(1,0),以PA为边作矩形PABC(点P、A、B、C按顺时针的方向排列),
(1)求抛物线的函数关系式,并写出点P的坐标;
(2)小丽发现:将抛物线y=-x2+2nx-n2+2n绕着点P旋转180°,所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O,你认为正确吗?请说明理由;
(3)如图2,已知点A(1,0),以PA为边作矩形PABC(点P、A、B、C按顺时针的方向排列),
PA |
AB |
![(2014•镇江)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点M为抛物线y=-x2+2nx-n2+2n的顶点,过点(0,4)作x](/uploads/image/z/17374006-46-6.jpg?t=%EF%BC%882014%E2%80%A2%E9%95%87%E6%B1%9F%EF%BC%89%E5%A6%82%E5%9B%BE1%EF%BC%8C%E5%9C%A8%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E7%9B%B4%E8%A7%92%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BBxOy%E4%B8%AD%EF%BC%8C%E7%82%B9M%E4%B8%BA%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BFy%3D-x2%2B2nx-n2%2B2n%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%EF%BC%8C%E8%BF%87%E7%82%B9%EF%BC%880%EF%BC%8C4%EF%BC%89%E4%BD%9Cx)
(1)∵抛物线y=-x2+2nx-n2+2n过点P,P点的纵坐标为4,
∴4=-x2+2nx-n2+2n
解得:x1=n+
2n−4,x2=n-
2n−4,
∵PQ=x1-x2=4,
∴2
2n−4=4,
解得:n=4,
∴抛物线的函数关系式为:y=-x2+8x-8,
∴4=-x2+8x-8,
解得:x=2或x=6,
∴P(2,4).
(2)正确;
∵P(2,4),PQ=4,
∴Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′(-2,4),
∴P与Q′正好关于y轴对称,
∴所得新抛物线的对称轴是y轴,
∵抛物线y=-x2+8x-8=-(x-4)2+8,
∴抛物线的顶点M(4,8),
∴顶点M到直线PQ的距离为4,
∴所得新抛物线顶点到直线PQ的距离为4,
∴所得新抛物线顶点应为坐标原点.
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/f3/ff3993ef28209b79cb591bc15b29ea44.jpg)
(3)①如图2,过P作x轴的垂线,交x轴于M,过C作CN⊥MN于N,
∵
PA
AB=
1
t,
∴
PA
PC=
1
t,
∵△APM∽△PCN,
∴
PN
AM=
CN
PM=
PC
PA=
t
1,
∵AM=2-1=1,PM=4,
∴PN=t,CN=4t,
∴MN=4+t,
∴C(-4t+2,4+t),
②由(1)可知,旋转后的新抛物线是y=ax2,
∵新抛物线是y=ax2过P(2,4),
∴4=4a,
∴a=1,
∴旋转后的新抛物线是y=x2,
∵C(-4t+2,4+t)在抛物线y=x2上,
∴4+t=(-4t+2)2,
解得:t=0(舍去)或t=
17
16,
∴t=
17
16.
∴4=-x2+2nx-n2+2n
解得:x1=n+
2n−4,x2=n-
2n−4,
∵PQ=x1-x2=4,
∴2
2n−4=4,
解得:n=4,
∴抛物线的函数关系式为:y=-x2+8x-8,
∴4=-x2+8x-8,
解得:x=2或x=6,
∴P(2,4).
(2)正确;
∵P(2,4),PQ=4,
∴Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′(-2,4),
∴P与Q′正好关于y轴对称,
∴所得新抛物线的对称轴是y轴,
∵抛物线y=-x2+8x-8=-(x-4)2+8,
∴抛物线的顶点M(4,8),
∴顶点M到直线PQ的距离为4,
∴所得新抛物线顶点到直线PQ的距离为4,
∴所得新抛物线顶点应为坐标原点.
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/f3/ff3993ef28209b79cb591bc15b29ea44.jpg)
(3)①如图2,过P作x轴的垂线,交x轴于M,过C作CN⊥MN于N,
∵
PA
AB=
1
t,
∴
PA
PC=
1
t,
∵△APM∽△PCN,
∴
PN
AM=
CN
PM=
PC
PA=
t
1,
∵AM=2-1=1,PM=4,
∴PN=t,CN=4t,
∴MN=4+t,
∴C(-4t+2,4+t),
②由(1)可知,旋转后的新抛物线是y=ax2,
∵新抛物线是y=ax2过P(2,4),
∴4=4a,
∴a=1,
∴旋转后的新抛物线是y=x2,
∵C(-4t+2,4+t)在抛物线y=x2上,
∴4+t=(-4t+2)2,
解得:t=0(舍去)或t=
17
16,
∴t=
17
16.
(2012•西城区二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y1=2x2+14的顶点为M,直线y2=x,点P(n,0)为x轴
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