百度作业网已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/13 18:52:48
已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值．
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（1）对于条件③，令x1=x2=0，得f（0）≤0，
又由条件①知，f（0）≥0，
故f（0）=0．
（2）设0≤x1＜x2≤1，则x2-x1∈（0，1），
∴根据③，若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
∴f（x2）-f（x1）
=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）
≥f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）
=f（x2-x1）≥0．
即f（x2）≥f（x1），故f（x）在[0，1]上是单调递增，
∴f（x）的最大值是f（1）=1．
又由条件①知，f（0）≥0，
故f（0）=0．
（2）设0≤x1＜x2≤1，则x2-x1∈（0，1），
∴根据③，若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
∴f（x2）-f（x1）
=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）
≥f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）
=f（x2-x1）≥0．
即f（x2）≥f（x1），故f（x）在[0，1]上是单调递增，
∴f（x）的最大值是f（1）=1．
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