利用向量证明:△ABC三条高交于一点.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/24 18:11:39
利用向量证明:△ABC三条高交于一点.
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![利用向量证明:△ABC三条高交于一点.](/uploads/image/z/17589231-63-1.jpg?t=%E5%88%A9%E7%94%A8%E5%90%91%E9%87%8F%E8%AF%81%E6%98%8E%3A%E2%96%B3ABC%E4%B8%89%E6%9D%A1%E9%AB%98%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E4%B8%80%E7%82%B9.)
设ΔABC,三条高线为AD、BE、CF,AD与BE交于H,连接CF.向量HA=向量a,向量HB=向量b,向量HC=向量c.
因为AD⊥BC,BE⊥AC,
所以向量HA·向量BC=0,向量HB·向量CA=0,
即向量a·(向量c-向量b)=0,
向量b·(向量a-向量c)=0,
亦即
向量a·向量c-向量a·向量b=0
向量b·向量a-向量b·向量c=0
两式相加得
向量c·(向量a-向量b)=0
即向量HC·向量BA=0
故CH⊥AB,C、F、H共线,AD、BE、CF交于同一点H.证毕.
因为AD⊥BC,BE⊥AC,
所以向量HA·向量BC=0,向量HB·向量CA=0,
即向量a·(向量c-向量b)=0,
向量b·(向量a-向量c)=0,
亦即
向量a·向量c-向量a·向量b=0
向量b·向量a-向量b·向量c=0
两式相加得
向量c·(向量a-向量b)=0
即向量HC·向量BA=0
故CH⊥AB,C、F、H共线,AD、BE、CF交于同一点H.证毕.
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三角形ABC内一点O,证明向量OA+向量OB+向量OC等于0向量
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