高数问题（关于单调性的证明）

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/07 02:30:24

高数问题（关于单调性的证明）
设f(x)在(0,a)内可导,f(0)=0,f'(x)单调递增,且F(x)=f(x)/x,证明F(x)在(0,a)内也单调递增.

F'(x)=[f'(x)x-f(x)]/x^2,只在证明在(0,a)内f'(x)x-f(x)>0即可.
令g(x)=f'(x)x-f(x),则g(0)=0
g'(x)=f''(x)x+f'(x)-f'(x)=f''(x)x,f'(x)单调递增,所以f''(x)>0,所以在(0,a)内g'(x)>0,即g(x)是增函数,g(0)=0,x>0时g(x)>0,得证.

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