试证:坐标平面内的三点A,B,C共线的充要条件试存在三个均不为零的实数l,m,n,使lOA+mOB+nOC=0,且l+m
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/17 02:22:14
试证:坐标平面内的三点A,B,C共线的充要条件试存在三个均不为零的实数l,m,n,使lOA+mOB+nOC=0,且l+m+n=0
(一)充分性
∵l+m+n=0
∴l=-m-n
∴lOA+mOB+nOC=(-m-n)OA+mOB+nOC
=m(OB-OA)+n(OC-OA)=mAB+nAC=0
得AB=(-n/m)AC
∴ 三点A,B,C共线
二.(必要性)
∵三点A,B,C共线
∴存在两个均不为0的实数m,n使得
AB=(-n/m)AC
即mAB+nAC=0
得m(OB-OA)+n(OC-OA)=0
(-m-n)OA+mOB+nOC=0
令l=-m-n
得lOA+mOB+nOC=0
所以坐标平面内的三点A,B,C共线的充要条件是存在三个均不为0的实数l,m,n,使lOA+mOB+nOC=0,(OA,OB,OC均为向量,l,m,n和向量是乘的关系)且l+m+n=0.
疑问:充分性和必要性是什么,为什么要先证充分性
(一)充分性
∵l+m+n=0
∴l=-m-n
∴lOA+mOB+nOC=(-m-n)OA+mOB+nOC
=m(OB-OA)+n(OC-OA)=mAB+nAC=0
得AB=(-n/m)AC
∴ 三点A,B,C共线
二.(必要性)
∵三点A,B,C共线
∴存在两个均不为0的实数m,n使得
AB=(-n/m)AC
即mAB+nAC=0
得m(OB-OA)+n(OC-OA)=0
(-m-n)OA+mOB+nOC=0
令l=-m-n
得lOA+mOB+nOC=0
所以坐标平面内的三点A,B,C共线的充要条件是存在三个均不为0的实数l,m,n,使lOA+mOB+nOC=0,(OA,OB,OC均为向量,l,m,n和向量是乘的关系)且l+m+n=0.
疑问:充分性和必要性是什么,为什么要先证充分性
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充分性指条件能得出结论;必要性指结论能推出条件.
命题1 的充分条件是 命题2,意思是 命题2 能推出 命题1.必要性相反.
这题当中充分性指:存在三个l m n,…… => A B C共线
必要性指:A B C共线 => 存在三个l m n,……
至于先证哪一个是无关紧要的,反正两个方向都要证明.(几乎所有的考试题目都是一个方向好证明,另一个方向不好证明,考试的时候要注意两个方向都尝试一下,把容易的写出来,这样可以拿近一半的分数.)
命题1 的充分条件是 命题2,意思是 命题2 能推出 命题1.必要性相反.
这题当中充分性指:存在三个l m n,…… => A B C共线
必要性指:A B C共线 => 存在三个l m n,……
至于先证哪一个是无关紧要的,反正两个方向都要证明.(几乎所有的考试题目都是一个方向好证明,另一个方向不好证明,考试的时候要注意两个方向都尝试一下,把容易的写出来,这样可以拿近一半的分数.)
已知A.B.C三点共线.且对空间任意一点O,存在不为0的实数λ.m.n.使λOA+mOB+nOC=0.求λ+m+n的值
已知A,B,C,P为平面内四点,求证:“A,B,C三点在一条直线上”的充要条件是“存在一对实数m,n,使向量PC=m(向
证明:两个非零向量a和b平行的充要条件是存在非零实数l、m,使l向量a+m向量b=0向量
设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,
设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,a⊥c,丨a丨=丨c丨,则丨b*c丨的...
设向量a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,a⊥b,|a|=|c|,则|b·c|的值
设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,a垂直c,|a|=|c|,则|b*c|一定等
已知O,A,B是不共线的三点,且向量OP=mOA+nOB,若m+n=1,证A,B,P三点共线
在平面直角坐标系中,点A(l,m)在第一象限内,点B的坐标为(3,0),OA=2,角AOB=60°
在平面直角坐标系中,点A(l,m)在第一象限内,点B的坐标为(3,0),OA=2,角AOB=60度.
已知平面上不共线的三点O,A,B,如果m向量OA+n向量OB-向量OP=向量0,且m+n=1,那么点p是否在直线AB上?
[向量]A,B,C三点共线,O点在直线外,存在实数m使mOA-3OB+OC=0,则A分BC的比为多少?