如图,△ABC中,AB=AC,E在AC上,D在BA的延长线上,且AD=AE,连DE,求证：DE⊥BC

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 01:22:51

如图,△ABC中,AB=AC,E在AC上,D在BA的延长线上,且AD=AE,连DE,求证：DE⊥BC
麻烦您用4种方法解题.
方法1：延长DE至F交于BC
方法2：过点D作DG相交于BC的延长线
方法3：过A作AH⊥DE
方法4：过E作EM//BC【这个不确定,可能还需要做其他的辅助线】
麻烦您了!请在10月12日早晨6点半之前解答出来!

方法1：延长DE交BC于F,并记∠BAC=α,
在△ABC中,∵AB=AC,∴∠C=(180-α）/2=90°-α/2,
在△ADE中,∠ADE+∠AED=外角∠ABC=α,∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE=α/2,
在△EFC中,∠FEC=∠AED=α/2,
于是∠EFB=∠FEC+∠C=α/2+90°-α/2=90°,故DE⊥BC.
方法2：过点D作DG∥AC交BC的延长线于G,
那么∠G=∠ACB=∠B,有DG=DB,
而∠EDG=∠DEA=∠EDA,
可见DE是∠BDG的平分线,所以DE⊥BC.
方法3：过A作AH⊥DE,H为垂足,
∵AD=AE,∴∠DAH=∠EAH=∠DAE/2=(180°-∠BAC)/2=∠B,
∴AH∥BC,那么DE⊥BC.
方法4：过E作EM//BC交AB于M,那么△AME也是等腰三角形,
得AM=AE=AD,则△WED是直角三角形,DE⊥ME,
从而DE⊥CB.