已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx−12x2+13x3,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/03 05:38:04
已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx−
x
1 |
2 |
(1)求导函数可得f′(x)=
1
1+x,g′(x)=b-x+x2,
∵函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线
∴g(0)=0,f′(0)=g′(0)
∴a=0,b=1. …(4分)
(2)证明:令h(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x+
1
2x2−
1
3x3(x>-1),∴h′(x)=-
x3
x+1…(5分)
令h′(x)>0可得-1<x<0;h′(x)<0可得x<-1或x>0,∵x>-1,∴x>0,
∴h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数. …(6分)
∴h(x)max=h(0)=0,
∴h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤g(x). …(8分)
(3)证明:设u(x)=(1+x)[f(x)-f(x1)]-(x-x1),则u′(x)=ln(1+x)-ln(1+x1).
当x∈(x1,x2)时,u′(x)>0,u(x)单调递增,
又u(x1)=0,故u(x)>0,即
f(x)−f(x1)
x−x1>
1
1+x. …(10分)
设v(x)=(1+x)[f(x2)-f(x)]-(x2-x),则v′(x)=ln(1+x2)-ln(1+x).
当x∈(x1,x2)时,v′(x)>0,v(x)单调递增,
又v(x2)=0,故v(x)>0,即
f(x)−f(x2)
x−x2<
1
1+x.
综上,x∈(x1,x2)时,证明:
f(x)−f(x1)
x−x1>
f(x)−f(x2)
x−x2. …(12分)
1
1+x,g′(x)=b-x+x2,
∵函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线
∴g(0)=0,f′(0)=g′(0)
∴a=0,b=1. …(4分)
(2)证明:令h(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x+
1
2x2−
1
3x3(x>-1),∴h′(x)=-
x3
x+1…(5分)
令h′(x)>0可得-1<x<0;h′(x)<0可得x<-1或x>0,∵x>-1,∴x>0,
∴h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数. …(6分)
∴h(x)max=h(0)=0,
∴h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤g(x). …(8分)
(3)证明:设u(x)=(1+x)[f(x)-f(x1)]-(x-x1),则u′(x)=ln(1+x)-ln(1+x1).
当x∈(x1,x2)时,u′(x)>0,u(x)单调递增,
又u(x1)=0,故u(x)>0,即
f(x)−f(x1)
x−x1>
1
1+x. …(10分)
设v(x)=(1+x)[f(x2)-f(x)]-(x2-x),则v′(x)=ln(1+x2)-ln(1+x).
当x∈(x1,x2)时,v′(x)>0,v(x)单调递增,
又v(x2)=0,故v(x)>0,即
f(x)−f(x2)
x−x2<
1
1+x.
综上,x∈(x1,x2)时,证明:
f(x)−f(x1)
x−x1>
f(x)−f(x2)
x−x2. …(12分)
已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正常数),且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等
已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正常数),且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等
已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=X2+2ax+1(a为正常数),且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等
已知函数f(x)=x2+ex-12(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围
已知函数f(x)=x2+ln(x+m)与函数g(x)=x2+ex-12(x<0)的图象上存在关于y轴对称的点(e为自然对
设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=
将函数f(x)=x3+3x2+3x的图象按向量a平移后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)满足g(1-x)+g(1+x
已知f(x)=log2(x+1),当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时,点(x3,y2)在函数y=g(x)的图
已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-1/2x^2+1/3x^3,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图
已知函数f(x)=x^2+1,函数y=g(x)的图像与y=f(x)的图象关于点(1,2)对称,
设函数g(x)=(x+1)ln(x+1)-x,f(x)=a(x+1)^2ln(x+1)+bx,曲线y=f(x)在原点(0
已知f(x)=lnx,g(x)=13x3+12x2+mx+n,直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切于点(1,0)