百度作业网已知1＜m＜n，m，n∈N*，求证：（1+m）n＞（1+n）m．
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/08 12:59:55
已知1＜m＜n，m，n∈N*，求证：（1+m）n＞（1+n）m．
证明：要证（1+m）n＞（1+n）m
只要证nln（1+m）＞mln（1+n）
即
ln(1+m)
m＞
ln(1+n)
n．
构造函数令f（x）=
ln(1+x)
x，x∈[2，+∞），
只要证f（x）在[2，+∞]上单调递减，
只要证f′（x）＜0．
∵f′（x）=
[ln(1+x)]′x−x′•ln(1+x)
x2=
x−ln(1+x)(1+x)
x2(1+x)．
当x≥2时，x-ln（1+x）（1+x）＜0，
x2（1+x）＞0，
∴f′（x）＜0，
即x∈[2，+∞]时，f′（x）＜0．
以上各步都可逆推，得（1+m）n＞（1+n）m．
只要证nln（1+m）＞mln（1+n）
即
ln(1+m)
m＞
ln(1+n)
n．
构造函数令f（x）=
ln(1+x)
x，x∈[2，+∞），
只要证f（x）在[2，+∞]上单调递减，
只要证f′（x）＜0．
∵f′（x）=
[ln(1+x)]′x−x′•ln(1+x)
x2=
x−ln(1+x)(1+x)
x2(1+x)．
当x≥2时，x-ln（1+x）（1+x）＜0，
x2（1+x）＞0，
∴f′（x）＜0，
即x∈[2，+∞]时，f′（x）＜0．
以上各步都可逆推，得（1+m）n＞（1+n）m．
(m+n)（m-n）-（1-2n)化简
已知:2m-5n=0 求下式的值 （1+n/m-m/m-n）/(1+n/m-m/m-n)
1 已知1/n - 1/m - 1/(n+m)=0 则（m/n + n/m）²=
1、已知|m|=3,n=2.且|m-n|=n-m,则 n-m=（ ）
化简：（1）m-n+2n
已知m，n，p都是整数，且|m-n|+|p-m|=1，则|p-m|+|m-n|+3（n-p）2=______．
已知m、n互为倒数,且m+n+2005=0,求（m·m+2006m+1）（n·n+2006n+1）的值
集合M={m｜m=3^n+6n-1,n∈N+,且m
已知m/n=5/3 求(1/m+n+1/m-n)÷1/n-n/m-n÷m+n/n的值,
已知：m/n=5/3,求（1/m+n+1/m-n)÷1/n-n/m-n÷m+n/n的值
若m＜0，n＞0，且m+n＜0，比较m、n、-m、-n、m-n、n-m的大小（用“＜”号连接）
计算题：(1) 5（m+n）（m--n）--2（m+n）（m+n）--3（m-n）（m--n）