高二数学题:关于距离和二面角,空间向量的运算的问题
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/24 11:24:35
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解题思路: (1)以点为中心建立空间坐标系,要证平面⊥平面,只需证明PQ⊥DQ,PQ⊥DC即可;(2)先求出平面PBC的和平面PBQ的法向量,两个法向量所成的角即为二面角Q—BP—C的平面角,然后求出余弦值即可.
解题过程:
设AB=1,则有:
(1)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/49/e49d8ab78e74afac37272158119190a0.png)
则![](http://img.wesiedu.com/upload/f/50/f50a36cfa735b6f5b382c878658050ed.png)
所以![](http://img.wesiedu.com/upload/0/41/04162f26b2f81dd3e49d0b6b3a38880c.png)
即PQ⊥DQ,PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.
又PQ
平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.
(2)依题意有B(1,0,1),
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/53/053655b8f526bb9e99dc0fac111d1e13.png)
设
是平面PBC的法向量,则![](http://img.wesiedu.com/upload/c/57/c576ed259350853369482f9c0ab3c84a.png)
因此可取![](http://img.wesiedu.com/upload/7/d8/7d8cc1a6e735512efd6b66305fd30b94.png)
设m是平面PBQ的法向量,则![](http://img.wesiedu.com/upload/f/73/f73a7c3c8ba5b20a1871dc506408a9a0.png)
可取![](http://img.wesiedu.com/upload/f/86/f863d997607383239e74c503e353a09a.png)
故二面角Q—BP—C的余弦值为![](http://img.wesiedu.com/upload/d/1f/d1f4b77c96fd89ab838c411085adbef2.png)
解题过程:
设AB=1,则有:
(1)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/49/e49d8ab78e74afac37272158119190a0.png)
则
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/50/f50a36cfa735b6f5b382c878658050ed.png)
所以
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/41/04162f26b2f81dd3e49d0b6b3a38880c.png)
即PQ⊥DQ,PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.
又PQ
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/96/596661246600bf42e7098d30ccaec214.png)
(2)依题意有B(1,0,1),
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/53/053655b8f526bb9e99dc0fac111d1e13.png)
设
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/53/55362a5025fd26a4e2acfda7ed5e20ba.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/57/c576ed259350853369482f9c0ab3c84a.png)
因此可取
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/d8/7d8cc1a6e735512efd6b66305fd30b94.png)
设m是平面PBQ的法向量,则
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/73/f73a7c3c8ba5b20a1871dc506408a9a0.png)
可取
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/86/f863d997607383239e74c503e353a09a.png)
故二面角Q—BP—C的余弦值为
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/1f/d1f4b77c96fd89ab838c411085adbef2.png)