百度作业网已知函数f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1在x=0，x=4处取得极值．
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/13 23:00:28
已知函数f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1在x=0，x=4处取得极值．
（1）求常数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值；
（3）设g（x）=f（x）+c，且∀x∈[-1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范围．
（1）求常数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值；
（3）设g（x）=f（x）+c，且∀x∈[-1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范围．
（1）f'（x）=3kx2+6（k-1）x，由于在x=0，x=4处取得极值，
∴f'（0）=0，f'（4）=0，
可求得k＝
1
3…（2分）
（2）由（1）可知f(x)＝
1
3x3−2x2+
8
9，f'（x）=x2-4x=x（x-4），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x （-∞，0） 0 （0，4） 4 （4，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） 极大值
8
9 极小值−
88
9 ∴当x＜0或x＞4，f（x）为增函数，0≤x≤4，f（x）为减函数； …（4分）
∴极大值为f(0)＝
8
9，极小值为f(4)＝−
88
9…（5分）
（3）要使命题成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1
由（2）得：g(−1)＝f(−1)+c＝−
13
9+cg(2)＝f(2)+c＝−
40
9+c…（6分）
∴g(x)min＝−
40
9+c≥2c+1，
∴c≤−
49
9…（8分）
∴f'（0）=0，f'（4）=0，
可求得k＝
1
3…（2分）
（2）由（1）可知f(x)＝
1
3x3−2x2+
8
9，f'（x）=x2-4x=x（x-4），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x （-∞，0） 0 （0，4） 4 （4，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） 极大值
8
9 极小值−
88
9 ∴当x＜0或x＞4，f（x）为增函数，0≤x≤4，f（x）为减函数； …（4分）
∴极大值为f(0)＝
8
9，极小值为f(4)＝−
88
9…（5分）
（3）要使命题成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1
由（2）得：g(−1)＝f(−1)+c＝−
13
9+cg(2)＝f(2)+c＝−
40
9+c…（6分）
∴g(x)min＝−
40
9+c≥2c+1，
∴c≤−
49
9…（8分）
已知函数f（x）=kx3-3x2+1（k≥0）．
已知函数f（x）=kx3-3（k+1）x2-k2+1（k＞0），若f（x）的单调减区间为（0，4），求k的值．
已知函数f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1（k＞0）的单调递减区间是（0，4），则k的值是 ___ ．
设函数f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围是______．
已知函数f（x）=kx3-4x2-8在区间[2，8]上是单调函数，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=(lnx+k)/e^x在点x=1处取得极值
已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值.
已知函数f（x）=ln（x+a）-x^2-x在x=0处取得极值
已知函数f（x）=ln(x+a)-x∧2-x在x＝0处取得极值,
已知函数f（x）=x3+bx2+cx+2在x=1处取得极值-1．
已知函数f（x）=12x4+bx3+cx2+dx+e（x∈R）在x=0和x=1处取得极值．
已知函数f(x)=ln(x+m),g(x)=e^x-1,F(x)=g(x)-f(x)在x=0处取得极值.