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级数((-1)^n)/(3n+1) (n从0到无穷)的值?可能要用到幂级数的性质.

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/05 10:49:24
级数((-1)^n)/(3n+1) (n从0到无穷)的值?可能要用到幂级数的性质.
级数((-1)^n)/(3n+1) (n从0到无穷)的值?可能要用到幂级数的性质.
∑(n从0到无穷)[(-1)^n·x^(3n+1)]/(3n+1)
=∑(n从0到无穷)(-1)^n∫x^3ndx(积分区间为0到x)
=∑(n从0到无穷)∫(-x³)^ndx(积分区间为0到x)
=∫[∑(n从0到无穷)(-x³)^n]dx(积分区间为0到x)
=∫1/(1+x³)dx(积分区间为0到x)
=1/3∫[1/(1+x)+(2-x)/(x²-x+1)]dx(积分区间为0到x)
=1/3[ln|1+x|-1/2ln|x²-x+1|+√3(arctan(2x-1)/√3)]
当x=1时,原式=ln2 +√3π/6