在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A（-4,0）,B（0,-4）,

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/24 06:32:42

在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A（-4,0）,B（0,-4）,
C（2,0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S．
求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标．

抛物线过A、C,可设Y=a(X+4)(X-2),又过B(0,-4),
∴-4=a*(-8),a=1/2.
∴解析式为Y=1/2(X^2+2X-8)=1/2X^2+X-4,
⑵易得直线AB解析式为：Y=-X-4,
过M作MN⊥X轴于D,交AB于N,
M(m,1/2m^2+m-4),N(m,-m-4),
MN=-1/2m^2-2m,
SΔAMB=SΔAMN+SΔBMN=1/2MN(AD+OD)=-2m^2-8m=-2(m+2)^2+8,
∴当m=-2时,S最大=8,
⑶OB=4,
①当PQ∥OB时,设P(p,1/2p^2+p-4),则Q(p,-p),
∴PQ=|1/2p^2+2p-4|=4
p^2+4p-8=±8,p=-2±2√5或p=-4、0(不合题意,舍去),
②当OB为平行四边形的对角线,
O、B中点为(0,2),也是P、Q的中点,
∴(1/2p^2-4)/2=1,p=±2√3,
综上所述：Q1(-2+2√3,2-2√3),Q2(-2-2√3,2+2√3),Q3(-4,4),
Q4(2√3,-2√3),Q5(-2√3,2√3).