有关一个数列的公式计算.

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/24 15:03:39

有关一个数列的公式计算.
1+（1+2）+（1+2+3）+.（1+2+3+.+n）为什么=n(n+1)(n+2)/6...

chennan917 的解答是正确的,我再给你1种有趣的解法,
把1+（1+2）+（1+2+3）+...（1+2+3+...+n）看成一个数列的和.
其通项为an=1+2+3+...+n=(1+n)n/2=（n*n+n)/2=（1/2)(n^2+n)
那么1+（1+2）+（1+2+3）+...（1+2+3+...+n）
=(1/2)[(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)]
再来求1^2+2^2+3^2+...+n^2的值.
想像一个有圆圈构成的正三角形,
第一行1个圈,圈内的数字为1
第二行2个圈,圈内的数字都为2,
以此类推
第n行n个圈,圈内的数字都为n,
我们要求的平方和,就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和.设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度,得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度,得到第三个三角形
然后,将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加,
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢,这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
那么：1+（1+2）+（1+2+3）+.（1+2+3+.+n）
=(1/2)[(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)]
=(1/2)[n(n+1)(2n+1)/6+(1+n)n/2]
=(1/2)[n(n+1)/6][(2n+1)+3]
=n(n+1)(n+2)/6

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