已知正方形ABCD边长为a,EF∥GH,且EF与GH之间的距离等于a.

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/04 09:08:11

已知正方形ABCD边长为a,EF∥GH,且EF与GH之间的距离等于a.
（1）如图一,EF经过点A,GH与BC、CD分别相交于I、J,.作AP⊥GH,垂足为P.求证：△API≌△ABI,且∠IAJ=45°.
（2）如图二,若EF与AD、AB分别相交于点K、L,GH与BC、CD分别交于点I、J,IK与JL相交于点M.作KP⊥GH,垂足为P,作KQ⊥BC,垂足为Q.求证：△KPI≌△KQI,且∠IMJ=45°

1、∵ABCD是正方形
∴∠ABC=∠ABI=90°
∵AP⊥GH,EF与GH之间的距离等于a
即∠ABI=∠API=∠BAD=90°
∴AP=AB,
∵AI=AI
∴RT△ABI≌RT△API(HL)
即：△API≌△ABI
∴∠BAI=∠PAI=1/2∠BAP
∵AD=AP=a
AJ=AJ,∠ADJ=∠APJ=90°
∴△APJ≌△ADJ(HL)
∴∠DAJ=∠PAJ=1/2∠DAP
∵∠BAP+∠DAP=90°
∴∠IAJ=∠PAI+∠PAJ=1/2∠BAP+1/2∠DAP=45°
2、∵KP⊥GH,KQ⊥BC,EF与GH之间的距离等于a
由于ABCD是正方形,
∴ABQK是矩形,KQ=AB=KP=a
即KQ=KP
∵KI=KI
∴RT△KPI≌RT△KQI(HL)
即：△KPI≌△KQI
(2）过点M分别向CD,CB,JI做垂线,垂足分别为R,S,O
∵△KPI≌△KQI(已证)
∴∠JIM=∠MIS
又 ∵∠MOI=∠MSI=90°
MI=MI
∴△MOI≌△MSI(HL)
∴∠OMI=∠IMS
同理可得△RMJ≌△OMJ(HL)
∴∠RMJ=∠OMJ
∵∠RMO+∠OMS=90°
又 ∵∠IMJ=∠IMO+∠JMO=1/2(∠RMO+∠OMS)=45°