设向量b能由向量组a1,…am线性表示,但不能由Ⅰ:a1,…am-1向量组线性表示,记向量组Ⅱ:a1,…,am-1,b.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/28 13:46:19
设向量b能由向量组a1,…am线性表示,但不能由Ⅰ:a1,…am-1向量组线性表示,记向量组Ⅱ:a1,…,am-1,b.
证明向量am不能由向量组Ⅰ线性表示但能由向量组Ⅱ线性表示
证明向量am不能由向量组Ⅰ线性表示但能由向量组Ⅱ线性表示
证明:
因为向量b能由向量组a1,…am线性表示
设b=x1a1+x2a2+...+xmam
如果am可以由向量组Ⅰ线性表示
不妨设am=b1a1+...+bm-1am-1
则b=x1a1+...+xm-1am-1+xmam
=x1a1+...+xm-1am-1+b1a1+...+bm-1am-1
=(x1+ba)a1+...+(xm-1+bm-1)am-1
即b可以由a1,…am-1线性表出
这与已知条件矛盾,所以am不能由向量组Ⅰ线性表示
b=x1a1+x2a2+...+xmam
其中xm≠0,否则b=x1a1+x2a2+...+xm-1am-1+xmam=x1a1+x2a2+...+xm-1am-1
即b可由Ⅰ:a1,…am-1向量组线性表示,矛盾!
所以
xmam=b-(x1a1+x2a2+...+xm-1am-1)
从而
am=(1/xm)(b-(x1a1+x2a2+...+xm-1am-1))
即am可由向量组Ⅱ线性表示
因为向量b能由向量组a1,…am线性表示
设b=x1a1+x2a2+...+xmam
如果am可以由向量组Ⅰ线性表示
不妨设am=b1a1+...+bm-1am-1
则b=x1a1+...+xm-1am-1+xmam
=x1a1+...+xm-1am-1+b1a1+...+bm-1am-1
=(x1+ba)a1+...+(xm-1+bm-1)am-1
即b可以由a1,…am-1线性表出
这与已知条件矛盾,所以am不能由向量组Ⅰ线性表示
b=x1a1+x2a2+...+xmam
其中xm≠0,否则b=x1a1+x2a2+...+xm-1am-1+xmam=x1a1+x2a2+...+xm-1am-1
即b可由Ⅰ:a1,…am-1向量组线性表示,矛盾!
所以
xmam=b-(x1a1+x2a2+...+xm-1am-1)
从而
am=(1/xm)(b-(x1a1+x2a2+...+xm-1am-1))
即am可由向量组Ⅱ线性表示
向量组B:b1,b2,……,bm能由向量组A:a1,a2,……,am线性表示的充要条件是( )
设向量组a1,a2,…am线性无关,向量B1可用它们线性表示,向量B2不能用它们线性表示,证明向量组a1,a2,…am,
设向量组a1,a2,a3线性相关,而向量组a2,a3,a4线性无关.证明:(1)a1能由a2,a3表示;(2)a4不能由
线性代数证明题:设向量组a1、a2,.,a(m-1) (m大于等于3)线性相关,向量组a2,.,am线性无关,求am能由
设n维向量组a1,a2,...,am线性无关,a1,a2,...,am,B线性相关,试用两种不同方法证明B可由,
大学线性代数:已知向量组A:a1,a2,am中的每个向量均可由向量组A0:a1,a2,ar线性表示且表示法唯一,试证A0
线代题:向量b可由向量组a1,a2…as线性表示且表示法唯一,证a1,a2…as线性无关
设向量组a1,a2,a3线性相关,向量组a2,a3,a4线性无关,证明(1):a1能由a2,a3线性表示 (2):a4不
若向量b能由a1,a2,a3这三个向量线性表示且表达式唯一,证明:向量组a1,a2,a3线性无关
线性代数问题:设向量组a1,a2,.,as线性无关,向量b1可由它线性表示,而向量b2不能由它线性表示,证明
如果向量组a1,a2,...,am线性无关,证:a1-a2,a2-a3.am-1-am,am-al线性相关
设向量组B:b1,b2,b3,...,br能由向量组A:a1,a1,...,as线性表示为 ( b1,b2,...,br